Ensino Superior ⇒ Reta tangente em uma função com assintota vertical Tópico resolvido

[willflux]

A reta tangente ao gráfico de f(x) = [tex3]\frac{x^2}{x^2 -1}[/tex3]
que passa pelo ponto (1, 1) tangencia o gráfico de f no
ponto de abscissa
a) 1/2
b) 1/3
c) 0
d) -1/3
e) -1/2

Resposta: d)

Não sei como fazer essa, plotando o gráfico da função eu pude ver que a resposta é d) -1/3 mas como eu faço pra chegar nesse resultado?

[PedroCunha]

Olá.

O coeficiente angular da reta tangente será:

[tex3]m_t = f'(x) = \frac{2x \cdot (x^2-1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{2x \cdot (x^2-1-x^2)}{(x^2-1)^2} = -\frac{2x}{(x-1)^2}[/tex3]

Além disso, qualquer ponto tangente à f tem a forma [tex3]\left(x, \frac{x^2}{x^2-1} \right)[/tex3]. Como queremos a reta que passa pelo ponto (1,1), a seguinte igualdade é válida:

[tex3]m_t = \frac{y-y_0}{x-x_0} \therefore -\frac{2x}{(x^2-1)^2} = \frac{\frac{x^2}{x^2-1} - 1}{x - 1} \therefore -\frac{2x}{(x^2-1)^2} = \frac{1}{(x^2-1) \cdot (x-1)} \therefore \\\\ -2x \cdot (x-1) = x^2-1 \therefore x^2 + 2x^2 - 2x -1 = 0 \therefore 3x^2-2x-1 = 0 \\\\ \Leftrightarrow x = 1 \text{ ou } x = - \frac{1}{3}[/tex3]

Alternativa d.

Att.,
Pedro

[willflux]

Olá.

O coeficiente angular da reta tangente será:

[tex3]m_t = f'(x) = \frac{2x \cdot (x^2-1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{2x \cdot (x^2-1-x^2)}{(x^2-1)^2} = -\frac{2x}{(x-1)^2}[/tex3]

Além disso, qualquer ponto tangente à f tem a forma [tex3]\left(x, \frac{x^2}{x^2-1} \right)[/tex3]. Como queremos a reta que passa pelo ponto (1,1), a seguinte igualdade é válida:

[tex3]m_t = \frac{y-y_0}{x-x_0} \therefore -\frac{2x}{(x^2-1)^2} = \frac{\frac{x^2}{x^2-1} - 1}{x - 1} \therefore -\frac{2x}{(x^2-1)^2} = \frac{1}{(x^2-1) \cdot (x-1)} \therefore \\\\ -2x \cdot (x-1) = x^2-1 \therefore x^2 + 2x^2 - 2x -1 = 0 \therefore 3x^2-2x-1 = 0 \\\\ \Leftrightarrow x = 1 \text{ ou } x = - \frac{1}{3}[/tex3]

Alternativa d.

Att.,
Pedro

Nuss vlw cara