Ensino Médio ⇒ Matemática - Função do 2º Grau

[mlcosta]

Em uma pequena indústria, sabe se que o custo [tex3]C[/tex3] (em reais) para fabricar uma quantidade [tex3]q[/tex3] (em metros) de um produto é dado por [tex3]C = 6000 + 20q[/tex3]. Supondo que toda a quantidade que produzirá é vendida, e que a quantidade [tex3]q[/tex3] (em metros), em função do preço de venda [tex3]p[/tex3] (em reais), de um metro desse produto é dada por [tex3]q = 300 - 2p,\, 0 < p \leq 150[/tex3]. O preço [tex3]p[/tex3] que proporciona o lucro máximo é:

a) R$ 3.000,00
b) R$ 2.750,00
c) R$ 2.450,00
d) R$ 2.150,00
e) R$ 2.050,00

[petrasMOD]

@mlcosta,

As alternativas referem-se ao lucro máximo e não ao preço
Custo (C): C = 6000 + 20q
Quantidade (q): q = 300 - 2p
Receita (R): R = p . q
Lucro (L): L = R - C
R(p) = p(300 - 2p) = 300p - 2p²
Substituindo q na função do Custo: C(p) = 6000 + 20(300 - 2p) = 6000 + 6000 - 40p = 12000 - 40p
L(p) = (300p - 2p²) - (12000 - 40p) = -2p² + 340p - 12000
A função L(p) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo (a = -2). O valor de p que maximiza o lucro é a coordenada x do vértice [tex3]p_v = \frac{-b}{2a}[/tex3]
[tex3]p_v = \frac{-340}{2(-2)} = \frac{-340}{-4}= 85[/tex3]
[tex3]L(85) = -2(85)^2 + 340(85) - 12000 = -14450 + 28900 - 12000 = \boxed{2.450,00_{//}}[/tex3]