Ensino Superior ⇒ (ENAD) Equação Diofantina Linear Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O número de soluções da equação [tex3]4x + 7y = 83,[/tex3] onde [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são inteiros positivos, é:

a) [tex3]0.[/tex3]
b) [tex3]1.[/tex3]
c) [tex3]2.[/tex3]
d) [tex3]3.[/tex3]
e) infinito.

Resposta:

---

d

[Alexandre_SC]

[tex3]\begin{cases}4x + 7y = 83 \\ x \geq 1; x \in N \\y \geq 1 y \in N\end{cases}[/tex3]

[tex3]4x = 83 - 7y[/tex3]

como [tex3]y \geq 1[/tex3]
[tex3]4x \leq 76[/tex3]

[tex3]x \leq 19[/tex3]

como x é inteiro temos [tex3]x \leq 20[/tex3]

[tex3]7y = 83 - x[/tex3]

[tex3]7y \leq 79[/tex3]

[tex3]y \leq 11 + \frac{2}{7}[/tex3]

como y é inteiro
[tex3]y \leq 11[/tex3]

o resto da divisão de 7y + 4x por 83 é zero

sabemos que

[tex3]83 \equiv 3 (\mod 4)[/tex3]

e que
[tex3]83 \equiv 6 (\mod 7)[/tex3]

[tex3](4x + 7y) \equiv 6 (\mod 7)[/tex3]

[tex3]4x \equiv 6 (\mod 7)[/tex3]

[tex3]\left\{ x \in N / x = (5 + 7n); n \in N* \right\}[/tex3]


[tex3](4x + 7y) \equiv 3 (\mod 4)[/tex3]

[tex3]7y \equiv 3 (\mod 4)[/tex3]

[tex3]\left\{ y \in N / y = (1+4m) ; m \in N* \right\}[/tex3]

temos então

[tex3](1+4m)\cdot 7 + (5+7n)\cdot 4 = 83[/tex3]

[tex3]4m\cdot 7 + 7n\cdot 4 = 83-7 - 4 \cdot 5[/tex3]

[tex3]4\cdot 7(m+n) \cdot 4 = 83-27 = 56[/tex3]


[tex3]m + n = 2[/tex3]

dessa equação fica mais fácil par dizermos que há três soluções

[theblackmamba]

[tex3]ax+by=c[/tex3]

[tex3]x=x_0-\frac{b}{\mdc(a,b)}\cdot k[/tex3]
[tex3]y=y_0+\frac{a}{\mdc(a,b)}\cdot k,\,\,k\in\mathbb{Z}[/tex3]

Analisando uma possível solução:

[tex3](x_0,y_0)=(19,1)[/tex3]

Temos que [tex3]\mdc(4,7)=1[/tex3], logo:

[tex3]x=19-7k[/tex3]
[tex3]y=1+4k[/tex3]

Como [tex3]x,y>0[/tex3] devemos assegurar que:

[tex3]\begin{cases}19-7k>0\\1+4k>0\end{cases}\,\,\Longrightarrow\,\, -0,25<k<2,71[/tex3]

Como [tex3]k\in\mathbb{Z}[/tex3] então temos três valores para [tex3]k=\{0,1,2\}[/tex3]. De modo que teremos [tex3]\boxed{3}[/tex3] soluções diferentes para os pares [tex3](x,y)=(19,1);(12,5);(5,9)[/tex3]

Abraço.