Pré-Vestibular ⇒ (UFAM-2013) Geometria Analitíca Tópico resolvido

[brunoafa]

Sejam [tex3]A(-4,2),B(-8,-8),C(0,2)[/tex3] e [tex3]D(4,12)[/tex3] vértices consecutivos de um paralelogramo. A altura relativa ao lado BC deste paralelogramo é igual a:

GAB:
e) [tex3]\frac{20}{\sqrt{41}}[/tex3]

[fabit]

Use [tex3]\vec{u}=\vec{BA}[/tex3] e [tex3]\vec{v}=\vec{BC}[/tex3] para calcular o cosseno de ABC (via produto escalar). E com o seno de ABC, calcule a altura h como [tex3]h=|\vec{u}|\sin(A\hat{B}C)[/tex3].

[brunoafa]

Não entendi...

[fabit]

Com os pontos A, B e C você forma os vetores u e v que falei em

Use [tex3]\vec{u}=\vec{BA}[/tex3] e [tex3]\vec{v}=\vec{BC}[/tex3]

Aí vem a parte

... para calcular o cosseno de ABC (via produto escalar).

que significa fazer os seguintes cálculos:
[tex3]\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\Rightarrow(4,10)\cdot(8,10)=|(4,10)||(8,10)|\cos(A\hat{B}C)[/tex3]

[tex3]\cos(A\hat{B}C)=\frac{4\times8+10\times10}{\sqrt{4^2+10^2}\sqrt{8^2+10^2}}=\frac{132}{\sqrt{116}\sqrt{164}}[/tex3]

[tex3]\cos(A\hat{B}C)=\frac{4\times33}{\sqrt{4\times29}\sqrt{4\times41}}=\frac{33}{\sqrt{29\times41}}[/tex3] (Deixa assim!)

E com o seno de ABC, ...

significa usar [tex3]\sen^2\theta+\cos^2\theta=1[/tex3] para obter o seno do ângulo:
[tex3]\sen(A\hat{B}C)=\sqrt{1-\(\frac{33}{\sqrt{29\times41}}\)^2}=\sqrt{\frac{29\times41-33^2}{29\times41}}[/tex3] (Acho que a conta do numerador precisará ser mesmo feita, mas vou deixar assim por um instante, só por precaução)

... com o seno de ABC, calcule a altura h como [tex3]h=|\vec{u}|\sen(A\hat{B}C)[/tex3].

Isso é [tex3]h=\sqrt{116}\times\sqrt{\frac{29\times41-33^2}{29\times41}}=\frac{2\cancel{\sqrt{29}}\sqrt{1189-1089}}{\cancel{\sqrt{29}}\sqrt{41}}=\frac{2\sqrt{100}}{\sqrt{41}}=\boxed{\frac{20}{\sqrt{41}}}[/tex3]

Não deixe de desenhar a figura. Se você está estudando isso, provavelmente deve estar vendo uma coisa chamada "projeção de vetor sobre um eixo", que usa fortemente os conceitos aqui trabalhados.

Bons estudos!