IME / ITA ⇒ (ITA - 1987) Geometria Analítica Tópico resolvido

[brunoafa]

Uma circunferência, tangente às retas de equações [tex3]2x-3y+9=0[/tex3] e [tex3]3x-2y+1=0[/tex3], tem seu centro sobre a reta [tex3]x+2y-10=0[/tex3]. Encontre a equação da circunferência.

Na resolução ele diz que se o centro pertence a reta [tex3]x+2y-10=0[/tex3] ele é da forma [tex3](10-2y_{0},y_{0})[/tex3].

Só não entendi isso, o resto está tranquilo.

Como ele chegou nessa conclusão?

[LucasPinafiMOD]

Vou resolver essa questão para que as outras pessoas possam ver a solução, beleza?

Já respondendo sua dúvida: o centro da circunferência está sobre a reta [tex3]x+2y-10=0 \Leftrightarrow x=10-2y[/tex3].

Assim, sendo [tex3](x_0,y_0)[/tex3] o centro da circunferência, então [tex3]x_0[/tex3] deve conferir a relação anterior ou seja, [tex3]x_0=10-2y_0[/tex3]. [tex3]C=(10-2y_0,y_0)[/tex3].

A distância do centro até [tex3]2x-3y+9=0[/tex3] é o raio:

[tex3]r= \frac{|2(10-2y_0)-3y_0+9|}{\sqrt{13}} \Rightarrow 5r= |20-4y_0-3y_0+9|[/tex3]
[tex3]\sqrt{13}r= |29-7y_0|[/tex3] (i)

Da mesma forma:

[tex3]r= \frac{|3(10-2y_0)-2y_0+1|}{\sqrt{13}} \Rightarrow \sqrt{13} r = |30-6y_0-2y_0+1|[/tex3]
[tex3]\sqrt{13} r = |31-8y_0|[/tex3] (ii)

Igualando (i) e (ii), temos:

[tex3]|29-7y_0| = | 31-8y_0| \Leftrightarrow \begin{cases}
29-7y_0=31-8y_0 \\
29-7y_0=-31+8y_0
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo a primeira equação, obtemos:

[tex3]y_0=2[/tex3]

E a segunda:

[tex3]y_0=4[/tex3]

E agora, como fazemos para escolher qual ponto é o certo? Basta fazer o esboço da reta, e logo você perceberá que não fará sentido o ponto de ordenada 2. Assim, [tex3]y_0=4 \Rightarrow x_0=2[/tex3] e,
[tex3]\sqrt{13} r =|29-7y_0| \Rightarrow \sqrt{13} r = 1 \Rightarrow r = \frac{\sqrt{13}}{13}[/tex3]

E a equação se torna:

[tex3](x-2)^2+(y-4)^2= \frac{1}{13}[/tex3]

[brunoafa]

Então poderia ser [tex3]\(x_{0},\,\frac{10-x_{0}}{2}\)[/tex3] ??

[brunoafa]

Então poderia ser [tex3]\(x_{0},\,\frac{10-x_{0}}{2}\)[/tex3] ??

Poderia AHAHAHHAAHHAHHAHAHA

Um ano depois, fazendo a mesma questão pesquiso no Google e acho isso.

Só uma coisa, acho que a resposta [tex3]C(2,4)[/tex3] não serve, pelo menos aqui no Geogebra a circunferência com esse centro e raio [tex3]\frac{1}{\sqrt13}[/tex3] não é tangente as retas dadas

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[LucasPinafiMOD]

Rapaiz, o tempo passa rápido hein

[brunoafa]

Rapaiz, o tempo passa rápido hein

Putz, nem me fale. Vou fazer 20 anos daqui a 5 dias, quando comecei essa brincadeira de estudar para a AFA tinha recém completado 17.

[LucasPinafiMOD]

kkkkkkkkkkkkkkkk o loco

[brunoafa]

Voltando a questao, acho que um dos centros não convém mesmo.