Pré-Vestibular ⇒ (FEI) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[nina]

Em relação à sequência log(1), log(5), log(25), ... [tex3]\log (5^{n-1})[/tex3] é correto afirmar:

a) todos os seus termos são maiores que zero.
b) é uma progressão geométrica crescente.
c) é uma progressão geométrica decrescente.
d) é uma progressão aritmética crescente.
e) é uma progressão aritmética decrescente.

Resposta

---

d

Alguém poderia por gentileza me mostrar como posso chegar à conclusão da alternativa "d"? Desde já obrigada.
obs: coloquei PG no título porque está na parte de PG, mas a resposta do exercício é que é uma PA mesmo.

[poti]

Seja [tex3]\log 5 = y[/tex3]

[tex3]\log 1 = \log 5^0 = 0y[/tex3] [tex3](a_1)[/tex3]
[tex3]\log 5 = \log 5^1 = 1y[/tex3] [tex3](a_2)[/tex3]
[tex3]\log 25 = \log 5^2 = 2y[/tex3] [tex3](a_3)[/tex3]
[tex3]\log 125 = \log 5^3 = 3y[/tex3] [tex3](a_4)[/tex3]
[tex3]\ddots[/tex3]
[tex3]\log 5^{(n-1)} = (n-1)y[/tex3] [tex3](a_n)[/tex3]

É PA, pois:
[tex3]\frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{0y + 2y}{2} = y = a_2[/tex3]
[tex3]\frac{a_2 + a_4}{2} = \frac{1y + 3y}{2} = 2y = a_3[/tex3]
[tex3]\ddots[/tex3]

Como [tex3]\log 5 = y > 0[/tex3], então [tex3]0y < 1y < 2y < \cdots < (n-1)y \ \ (\text{PA crescente de raz\~ao y})[/tex3]

Se fosse PG, teríamos [tex3]a_2 = 1y = \sqrt{a_1 \cdot a_3} = \sqrt{0y \cdot 2y} = 0 \ \ (\text{Absurdo!})[/tex3]