Ensino Fundamental ⇒ Simplificação de expressão algébrica Tópico resolvido

[ludwing]

Quando simplificada, a expressão [tex3]\sqrt{1+\left(\frac{x^{4}-1}{2x^{2}}\right)^{2}}[/tex3] é igual a:

A) [tex3]\frac{x^{4}-1}{2x^{2}}[/tex3]

B)[tex3]\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2}[/tex3]

C) [tex3]\frac{x^{2}}{\sqrt{2}}[/tex3]

D) [tex3]\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2x^{2}}[/tex3]

Galera, não tenho o gabarito da questão, ai tentei de todos os modos que imaginei, por fim resolvi substituir x=2, já estava com medo de ter algum erro na questão, a alternativa que bateu foi a D), porém não faço ideia de como chegar nessa solução, quem puder explicar agradeço.

[LucasPinafiMOD]

Um jeito simples é assim:
[tex3](\frac{x^4-1}{2x^2})^2= \frac{x^8-2x^4+1}{4x^4} \\ 1+ (\frac{x^4-1}{2x^2})^2 =1+\frac{x^8-2x^4+1}{4x^4}= \frac{x^8+2x^4+1}{4x^4}= (\frac{1+x^4}{2x^2})^2 \\ \sqrt{1+(\frac{x^4-1}{2x^2})^2}=\sqrt{(\frac{x^4+1}{2x^2})^2}= \frac{x^4+1}{2x^2}= \frac{x^2}{2}+ \frac{1}{2x^2}[/tex3]

[ludwing]

Coloca simples nisso, e eu queimando a cabeça . Valeu ae!

[paulo testoniMOD]

Hola.

Desenvolvendo dentro da raiz quadrada, temos:
[tex3]\sqrt{1+\frac{x^8-2x^4+1}{4x^4}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{\frac{4x^4+x^8-2x^4+1}{4x^4}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{\frac{x^8+2x^4+1}{4x^4}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{\frac{(x^4+1)^2}{(2x^2)^2}}[/tex3]
[tex3]\frac{x^4+1}{2x^2}[/tex3]
Separando os termos:
[tex3]\frac{x^4}{2x^2}+\frac{1}{2x^2}[/tex3]
Simplificando, fica:
[tex3]\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2},\,letra\,D[/tex3]