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Analise as seguintes afirmações referentes às propriedades de determinantes:

I - Se, em uma matriz, duas linhas ou duas colunas têm elementos de valores
proporcionais, o seu determinante será nulo.

II - Se uma matriz quadrada A for multiplicada por um número real k, seu determinante
passa a ser multiplicado por k.

III - O valor do determinante de uma matriz A é igual ao determinante da matriz da
transposta de A.

IV - Ao trocarmos a posição de duas linhas ou de duas colunas de uma matriz, o valor do
seu determinante passa a ser inverso ao determinante da anterior.

V - Considerando AB a matriz produto de duas matrizes quadradas de ordem iguais,
temos que: det (AB) = (det A) . (det B).

Considerando o exposto, estão corretas,
A) exatamente duas afirmações.
B) exatamente três afirmações.
C) exatamente quatro afirmações.
D) todas as afirmações

De acordo com o gabarito a alternativa correta é .
Porém,eu penso que o correto seriam 4 afirmações corretas: I,III,IV e V.

I - VERDADE, sempre que uma matriz tem duas filas paralelas porporcionais (duas linhas ou duas colunas), então seu determinate será nulo.

II - FALSO, isto só é verdade se multiplicarmos uma fila (uma linha ou uma coluna) por k. Caso a matriz inteira seja multiplicada por k, o determinante da nova matriz será [tex3]k^{n}[/tex3].det(A).

III - VERDADE, para qualquer matriz quadrada de ordem n, seu determinante é sempre igual ao determinante da sua transposta.

IV - FALSO, ao trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o oposto do determinante anterior, e não o inverso.

V - VERDADE, para quaisquer matrizes A e B quadradas e de mesma ordem, det(AxB) = det(A) x det(B).