IME / ITA ⇒ (EsPCEx-SP) Função Exponencial Tópico resolvido

[DerWundermann]

O conjunto solução da inequação [tex3]\frac{1}{2}^{x-3} \leq \frac{1}{4}[/tex3] é:

a) [5,+[tex3]\infty[/tex3][
b) [4,+[tex3]\infty[/tex3][
c) ]-[tex3]\infty[/tex3],5]
d) {x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]| x [tex3]\leq[/tex3]-5}
e) {x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]| x [tex3]\geq[/tex3]-5}

Resposta

---

Segundo o livro (Lazzi), a resposta correta é a).

Contudo, não cheguei no resultado correto. Minha tentativa:

[tex3]\frac{1}{2}^{x-3} \leq \frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]2^{-x+3} \leq 2^{-2}[/tex3]
-x +3 [tex3]\leq[/tex3] -2
-x [tex3]\leq[/tex3] -5
x [tex3]\leq[/tex3] 5

Eu preciso trocar o sinal [tex3]\leq[/tex3] para [tex3]\geq[/tex3] quando multiplico ambos os lados por -1?

[Ittalo25MOD]

[tex3]\(\frac{1}{2}\)^{x-3}\leq \(\frac{1}{2}\)^2[/tex3]

Tem que inverter o sinal da inequação porque a base está entre 0 e 1 :

[tex3]x-3\geq 2[/tex3]

[tex3]x\geq 5[/tex3]

Letra a).....

[csmarceloMOD]

As bases são fracionárias.

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^a>\left(\frac{1}{2}\right)^b\Rightarrow a<b[/tex3]
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^a<\left(\frac{1}{2}\right)^b\Rightarrow a>b[/tex3]
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^a=\left(\frac{1}{2}\right)^b\Rightarrow a=b[/tex3]

Assim,

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}\leq\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}\leq\left(\frac{1}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]x-3\geq2[/tex3]

[DerWundermann]

Novamente muito obrigado pela ajuda, pessoal.

O raciocínio, portanto, está em inverter o sinal quando a base for fração. Não sabia disso.

[csmarceloMOD]

Sim, veja:

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}<\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}<\frac{1}{8}[/tex3]

Ao aumentar o expoente, a potência diminui. E vice-versa.