IME / ITA ⇒ (AFA - 2015) Funções Tópico resolvido

[brunoafa]

Considere as funções reais f e g definidas por

[tex3]f(x)= \frac{1}{2} \det \begin{pmatrix}
2 & \cos(2x) \\
2\sen(2x) & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}[/tex3] e [tex3]g(x)=\frac{1}{2}-f(x)[/tex3] e marque a alternativa INCORRETA

a) O conjunto imagem da função [tex3]f[/tex3] é o intervalo [tex3][0,1][/tex3]
b) A função [tex3]g[/tex3] é ímpar
c) A função real [tex3]h[/tex3] definida por [tex3]h(x)=-\frac{1}{2}+g(x)[/tex3] possui duas raízes no intervalo [tex3][0,\frac{\pi}{2}][/tex3]
d) O período da função real [tex3]j[/tex3] definida por [tex3]j(x)=\bigg|-\frac{1}{2}+g(x)\bigg|[/tex3] é [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

Resposta

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Gabarito c

[Loexdramorama]

(a) (V)
[tex3]f(x)=\frac{1}{2}(1-2\sen2x\cos2x)=\frac{1}{2}(1-\sen4x)[/tex3]
A função seno é limitada com imagem variando no intervalo [tex3][-1,1][/tex3]. Vamos substituir este intervalo na função.
[tex3]f(x)=\frac{1}{2}(1-[-1,1])=\frac{1}{2}([0,2])=[0,1][/tex3]

(b) (V)
[tex3]g(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(1-\sen4x)=\frac{1}{2}-\(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sen4x\)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sen4x=\frac{1}{2}\sen4x[/tex3]
A função seno é ímpar. Se multiplicarmos por [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] continuará ímpar.

(c) (F)
[tex3]f(x)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sen4x[/tex3]
Para que esta [tex3]f(x)=0[/tex3] temos que ter [tex3]\sen4x=1[/tex3] e assim [tex3]4x=\frac{\pi }{2}\rightarrow x=\frac{\pi }{8}[/tex3]
Só há um valor entre [tex3]\left[0,\frac{\pi }{2}\right][/tex3] e não dois como diz a questão.

(d) (V)
[tex3]j(x)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \ \sen4x[/tex3] não sei escrever módulo aqui desculpa.
a função seno é limitada [tex3][-1,1][/tex3] então.
[tex3]-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}[-1,1]=-\frac{1}{2}+\[\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\]=[0,1][/tex3]

Agora, para encontrar o período basta encontrar [tex3]x[/tex3] para que [tex3]f(x)=0[/tex3] e [tex3]f(x)=1[/tex3]
Vc encontrará 3 valores.
[tex3]x_1=\frac{\pi}{8}[/tex3]
[tex3]x_2=\frac{3\pi}{8}[/tex3]

e [tex3]\sen(4x)=3[/tex3] vamos desconsiderar pq não existe seno fora do intervalo [tex3][-1,1][/tex3].

Assim... o período da função é dado por [tex3]2\cdot\(\frac{3\pi }{8}-\frac{\pi }{8}\)=\frac{\pi }{2}[/tex3]

[ASPIRADEDEU]

Alquem sabe porque se multiplicar por 2, na IV ?