Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1993) Propriedades dos Logaritmos

[Cinthia]

Sabendo-se que [tex3]5^p= 2,[/tex3] podemos concluir que [tex3]\log_2100[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{2}{p}[/tex3]
b) [tex3]2p[/tex3]
c) [tex3]2+ p^2[/tex3]
d) [tex3]2+ 2p[/tex3]
e) [tex3]\frac {2+2p}{p}[/tex3]

[fabit]

Uma solução é usar as propriedades dos logaritmos:

• [tex3]\log_2 100 = \log_2 (2^2\cdot 5^2) = 2\log_2{2}+2\log_2 5[/tex3]

Como [tex3]p=\log_5 2,[/tex3] temos [tex3]\frac{1}{p}=\log_2 5[/tex3] e a resposta fica [tex3]\log_2 100 = 2 + 2 \times \frac{1}{p} = \frac{2p+2}{p} .[/tex3]

Outra solução:

• [tex3]5^p=2[/tex3]

Multiplico por [tex3]2^p[/tex3]

• [tex3]2^p\cdot 5^p=2^{p+1}\Rightarrow 10^p=2^{p+1}[/tex3]

Elevo ao quadrado

• [tex3]100^p=2^{2(p+1)}[/tex3]

Elevo a [tex3]\frac{1}{p}[/tex3]

• [tex3]100=2^{\frac{2p+2}{p}}[/tex3]
  
  [tex3]x=\frac{2+2p}{p}[/tex3]

Letra (e).