IME / ITA ⇒ (IME - 1988) Geometria Plana Tópico resolvido

[DanielEsPCEx]

Dado um círculo de raio [tex3]R[/tex3] e centro [tex3]O[/tex3], constrói-se [tex3]3[/tex3] círculos iguais de raios [tex3]r[/tex3], tangentes dois a dois, nos pontos [tex3]E[/tex3], [tex3]F[/tex3], [tex3]G[/tex3] e tangentes interiores ao círculo dado. Determine, em função de [tex3]R[/tex3], o raio destes círculos e a área da superfície [tex3]EFG[/tex3], compreendida entre os três círculos e limitada pelos arcos [tex3]EG[/tex3], [tex3]GF[/tex3] e [tex3]FE[/tex3].


Me ajudem.
Como fizeram?

[csmarceloMOD]

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O ângulo central está dividido em 3 partes de [tex3]120^\circ[/tex3].

Chamemos de [tex3]x[/tex3] a medida do comprimento do segmento [tex3]\overline{OH}[/tex3] que, obviamente, corresponde às medidas dos segmentos relacionados às outras circunferências.

Repare no triângulo [tex3]OEF[/tex3]. Pela Lei dos Cossenos,

[tex3](2r)^2=(r+x)^2+(r+x)^2-2\cdot(r+x)(r+x)\cdot\cos120^\circ[/tex3]

Desenvolvendo a equação, chegamos à seguinte equação do segundo grau de incógnita [tex3]x[/tex3]:

[tex3]3x^2+6rx-r^2=0[/tex3]

E, portanto,

[tex3]x=\frac{r(2\sqrt{3}-3)}{3}[/tex3]

Veja que [tex3]R=2r+x[/tex3]. Assim,

[tex3]R=2r+\frac{r(2\sqrt{3}-3)}{3}[/tex3]

Colocando a equação em função de [tex3]r[/tex3]:

[tex3]r=R(2\sqrt{3}-3)[/tex3]

Calculando a área do triângulo [tex3]EFG[/tex3] pelo Teorema de Heron,

[tex3]A=\sqrt{3r(3r-2r)(3r-2r)(3r-2r)}=r^2\sqrt{3}[/tex3]

Substituindo [tex3]r[/tex3] e desenvolvendo a expressão resultante:

[tex3]A=(21\sqrt{3}-36)R^2[/tex3]