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Encontre os eixos da elipse [tex3]5x^{2}+8xy+5y^{2}=9[/tex3] e esboce seu gráfico.
Dica: encontre os extremos da distância até a origem, usando a equação da elipse como restrição.

Sejam [tex3]f(x,y)=5x^{2}+8xy+5y^{2}=9[/tex3] e [tex3]g(x,y)=x^2+y^2=c[/tex3]; perceba que, nos vértices da elipse, [tex3]\bigtriangledown f=k\bigtriangledown g \rightarrow (10x+8y,8x+10y)=k(2x,2y)\rightarrow x,y,k\neq 0\rightarrow[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
10x+8y=2kx \\
8x+10y=2ky
\end{cases}\rightarrow x=y[/tex3] e [tex3]x=-y[/tex3] são as retas que abrigam os vértices da elipse, ou seja, seus eixos. Perceba que o centro da elipse é a interseção dessas retas (0,0) e que os vértices mais distantes estão em x=-y, daí você pode esboçar a elipse: