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A quantidade de anagramas da palavra MERCANTE que não possui vogais juntas é

( a ) 40320.
( b ) 38160.
( c ) 37920.
( d ) 7200.
( e ) 3600.

Total de anagramas da palavra MERCANTE: [tex3]\frac{P8}{P2}=20160[/tex3].

Agora, vamos calcular a quantidade de anagramas que possuem pelo menos duas vogais juntas.

Para tal, vou combinar as três vogais de duas em duas.

AE
EE

No entanto, podemos permutar AE e, assim, ficamos com três sequências possíveis.

AE
EA
EE

Essas sequências poderão ficar dispostas nas palavras em 7 posições distintas: no início, entre as outras letras ou no final.

As letras restantes (as cinco consoantes mais a terceira vogal), poderão ser arranjadas de [tex3]P6=720[/tex3] maneiras distintas.

Assim, no final, temos um total de [tex3]3\cdot7\cdot720=15120[/tex3] anagramas . Como alguns exemplos:

MERCAENT
MTRCAENE
MEERCATN
EAMERCTN
E por aí vai...

Mas veja o exemplo de um caso particular, que é quando as três vogais ficam juntas:

MRCEAENT

Repare que, nessa situação, temos tanto MRCEAENT quanto MRCEAENT, ou seja, os anagramas com as três vogais juntas estão sendo contados duas vezes. Logo, temos que subtrair uma vez a quantidade de anagramas com as três vogais juntas do total de anagramas encontrados.

As três vogais juntas podem ficar dispostas das seguintes formas:

AEE
EEA
EAE

Essas sequências poderão ficar dispostas nas palavras em 6 posições distintas: no início, entre as outras letras ou no final.

As letras restantes (as cinco consoantes), poderão ser arranjadas de [tex3]P5=120[/tex3] maneiras distintas.

Assim, no final, temos um total de [tex3]3\cdot6\cdot120=2160[/tex3] anagramas que possuem três vogais juntas.

Logo, efetivamente, existem [tex3]15120-2160=12960[/tex3] anagramas que possuem pelo menos duas vogais juntas.

Total de anagramas da palavra MERCANTE que não possui vogais juntas: [tex3]20160-12960=7200[/tex3].

Outra maneira de resolver essa questão é utilizando um método semelhante ao primeiro lema de Kaplansky. Veja:

MERCANTE
_-_-_-_-_-_

Pense nos - como consoantes e nos _ como espaços para preenchermos com vogais. Perceba que este método garante que o enunciado seja satisfeito, isto é, nenhuma vogal ficará junta de outra. Basta então contarmos a quantidade de arranjos que podemos fazer (arranjos porque a ordem aqui importa, são letras distintas, com excessão do E que aparece duas vezes e por isso dividiremos a conta por 2! no final). Temos 6 espaços para 3 letras, sendo que ordem importa, então:
6!/(6-3)! = 6!/3! = 6*5*4 = 120.
E como já dito, repetição do E, então:
120/2! = 60.
Agora basta permutarmos as consoantes também, que são 5 e todas distintas, portanto:
5! = 5*4*3*2*1=120
Juntando os dois resultados:
60*120=7200