Ensino Superior ⇒ Curvatura Tópico resolvido

[AnaBela]

Alguém poderia me ajudar a resolver esta questão:

Determine a curvatura de r(t) = [tex3]e^{t} \cos t[/tex3],[tex3]e^{t} \sin t[/tex3],t) no ponto (1,0,0).

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Vamos determinar a primeira e a segunda derivada da curva r( t ), vem;

r'( t ) = ( e [tex3]^{t}[/tex3].cos (t) - e [tex3]^{t}[/tex3].sen (t) , e [tex3]^{t}[/tex3].sen (t) + e [tex3]^{t}[/tex3].cos (t) , 1 )

r''( t ) = [ ( e [tex3]^{t}[/tex3].cos (t) - e [tex3]^{t}[/tex3].sen (t) ) - ( e [tex3]^{t}[/tex3].sen (t) + e [tex3]^{t}[/tex3].cos (t) ) ].i + [ ( e [tex3]^{t}[/tex3].sen (t) + e [tex3]^{t}[/tex3].cos (t) ) + ( e [tex3]^{t}[/tex3].cos (t) - e [tex3]^{t}[/tex3].sen (t) ) ].j + 0.k

r''( t ) = ( - 2e [tex3]^{t}[/tex3].sen (t) ).i + ( 2e [tex3]^{t}[/tex3]. cos (t) ).j + 0.k

Perceba que, para a função vetorial r( t ), no ponto ( 1 ,
0 , 0 ) temos t = 0. Logo , para esse valor de t, temos:

Obs.

( e[tex3]^{t}[/tex3].cos(t) , e[tex3]^{t}[/tex3].sen(t) , t ) = ( 1 , 0 , 0 )

As equações paramétricas são:

x = e[tex3]^{t}[/tex3].cos(t) y = e[tex3]^{t}[/tex3].sen(t) z = t


r'( 0 ) = ( e [tex3]^{0}[/tex3].cos (0) - e [tex3]^{0}[/tex3].sen (0) , e [tex3]^{0}[/tex3].sen (0) + e [tex3]^{0}[/tex3].cos (0) , 1 )

r'( 0 ) = ( 1, 1 , 1 ).

Ainda;

r''( 0 ) = ( - 2e [tex3]^{0}[/tex3].sen (0) , 2e [tex3]^{0}[/tex3]. cos (0) , 0 )

r''( 0 ) = ( 0 , 2 , 0 ).

Devemos calcular o módulo do vetor tangente r'( 0 ) , pois seu valor será utilizado depois para calcular a curvatura em t = 0.

| r'( 0 ) | = √( 1² + 1² + 1² ) = √( 1 + 1 + 1 )

| r'( 0 ) | = √3


Precisamos obter também o produto vetorial r'( t ) × r''( t ) em t = 0. Temos:

r'( 0 ) × r''( 0 ) = [tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
i & j & k \\
1 & 1 & 1\\
0 & 2 & 0
\end{array} \right][/tex3]

r'( 0 ) × r''( 0 ) = ( 0 - 2 ).i - ( 0 - 0 ).j + ( 2 - 0 ).k

r'( 0 ) × r''( 0 ) = ( - 2 , 0 , 2 ).

O módulo do produto vetorial é :

| r'( 0 ) × r''( 0 ) | = √[ ( - 2 )^2 + 0² + 2² ] = √( 4 + 0 + 4 )

| r'( 0 ) × r''( 0 ) | = 2√2.

Agora , basta substituir esses valores obtidos na fórmula da curvatura, temos:

k( 0 ) = | r'( 0 ) × r''( 0 ) |/| r'( 0 ) |^3 = ( 2√2 )/( √3 )^3 = (2√2)/( 3√3 )

Portanto, a curvatura é k( 0 ) = (2√6)/9.


Excelente estudo!