Pré-Vestibular ⇒ (ENEM) Equação de Primeiro Grau Tópico resolvido

[luis042]

As estradas E1 e E2 foram representadas num plano cartesiano por meio das equações y=√3x + 2 e y=2, sendo adotado o km como unidade dos eixos. Essas estradas devem ser interligadas por um arco de circunferência AB tangente às duas estradas e, ainda, esse arco deverá ser tangente à estrada E2 no ponto de abscissa 3, como mostra a figura.

Nessas condições, o centro da ciscunferência que contem o arco AB terá ordenada a:

Resposta: √3 + 2

[LucasPinafiMOD]

Da figura, vemos que a ordenada do centro deve ser igual a 3. Assim, o centro é (3, yc).
Repare que a distância do ponto (3, yc) até a reta y=2 é |yc-2| = yc-2, pois yc>2
Agora, calculemos a distância do ponto (3,yc) até a outra reta:
[tex3]y= \sqrt{3}x+2 \Rightarrow \sqrt{3}x-y +2=0 \\ d= \frac{|3\sqrt{3}-y_c+2|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2} }= \frac{|3\sqrt{3}-y_c+2|}{2}[/tex3]
Como a distância de cada reta tangente até o centro é constante e igual ao raio da circunferência, segue que:
[tex3]y_c-2= \frac{|3\sqrt{3}-y_c+2|}{2} \Rightarrow 2y_c-4 = = \pm (3\sqrt{3}-y_c+2)[/tex3]
Da figura, vemos que yc>0; logo
[tex3]2y_c-4=3\sqrt{3}-y_c+2 \Rightarrow 3y_c=3 \sqrt{3}+6 \Rightarrow y_c= \sqrt{3}+2[/tex3]

[Ittalo25MOD]

O coeficiente angular da reta E1 é [tex3]\sqrt{3}[/tex3], logo aquele ângulo é 60°. Usando propriedades de tangência e do teorema do bico é fácil traçar a bissetriz com esses dois triângulos congruentes, enfim...

[tex3]tg(30^o) = \frac{r}{3}[/tex3]

[tex3]r = \sqrt{3}[/tex3]

Daí somando com a distância que já tinha:

[tex3]\sqrt{3}+2[/tex3]