Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Análise Combinatória: Distribuição de Moedas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Existem [tex3]n[/tex3] maneiras de distribuir [tex3]7[/tex3] moedas de valores diferentes entre [tex3]2[/tex3] pessoas. Excluindo-se a possibilidade de uma só receber todas as moedas, calcule [tex3]\frac{n}{2}[/tex3].

[Karl Weierstrass]

Existem [tex3]n[/tex3] maneiras de distribuir [tex3]7[/tex3] moedas de valores diferentes entre [tex3]2[/tex3] pessoas. Excluindo-se a possibilidade de uma só receber todas as moedas, calcule [tex3]\frac{n}{2}[/tex3].

Considerando o par ordenado [tex3](a,\,b)[/tex3] em que [tex3]a[/tex3] é a 1º pessoa e [tex3]b[/tex3] a 2ª pessoa, segue que o número de modos distribuir as sete moedas é dado por:

[tex3]n={7\choose 0}\cdot{7\choose 7}+{7\choose 1}\cdot{6\choose 6}+{7\choose 2}\cdot{5\choose 5}+{7\choose 3}\cdot{4\choose 4}+{7\choose 4}\cdot{3\choose 3}+{7\choose 5}\cdot{2\choose 2}+{7\choose 6}\cdot{1\choose 1}+{7\choose 7}\cdot{0\choose 0}[/tex3]

[tex3]=\,{7\choose 0}\,+\,{7\choose 1}\,+\,{7\choose 2}\,+\,{7\choose 3}\,+\,{7\choose 4}\,+\,{7\choose 5}\,+\,{7\choose 6}\,+\,{7\choose 7}[/tex3]

[tex3]=\,2^7[/tex3]

[tex3]\,=\,128.[/tex3]

Excluindo-se os dois casos em que uma das pessoas fica com todas as moedas, segue que

[tex3]\Large\frac{n-2}{2}\large\,=\,\Large\frac{126}{2}\large\,=\,63.[/tex3]

Creio que o enunciado é contraditório. O que está sendo pedido na verdade é [tex3]\Large\frac{n-2}{2}\large.[/tex3]

[tex3](*)\,[/tex3]Triângulo de Pascal

Teorema das Linhas

[tex3]\,{n\choose 0}\,+\,{n\choose 1}\,+\,{n\choose 2}\,+\,\ldots\,+\,\Large{n\choose n}\large\,=\,2^n.[/tex3]








[tex3]\,[/tex3]