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Na figura acima [tex3]AM[/tex3] e [tex3]BP[/tex3] são cevianas do triângulo [tex3]ABC[/tex3] de área [tex3]S.[/tex3] Sendo [tex3]\overline{AP}=2\overline{PC}[/tex3] e [tex3]\overline{AQ}=3\overline{QM},[/tex3] qual é o valor da área do triângulo determinado pelos pontos [tex3]P, Q \text{ e } M[/tex3] em função de [tex3]S?[/tex3]

a) [tex3]\frac{S}{16}[/tex3]
b) [tex3]\frac{S}{18}[/tex3]
c) [tex3]\frac{S}{20}[/tex3]
d) [tex3]\frac{S}{21}[/tex3]
e) [tex3]\frac{S}{24}[/tex3]

Olá angeloalberto,

Começamos fazendo o desenho:

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Note que, para representar as proporções dadas no enunciado, chamei o segmento [tex3]\overline{AP}=2x[/tex3], [tex3]\overline{PC}=x[/tex3], [tex3]\overline{AQ}=3y[/tex3] e [tex3]\overline{QM}=y[/tex3].

Começamos descobrindo qual a proporção existente no lado [tex3]BC[/tex3]. Para isso, utilizaremos o teorema de menelaus no triângulo [tex3]AMC[/tex3] com o segmento [tex3]PB[/tex3]. Aplicando Menelaus:

• [tex3]\frac{\overline{BM}}{\overline{BM}+\overline{MC}}\cdot\frac{x}{2x}\cdot\frac{3y}{y}=1[/tex3]
  
  [tex3]\frac{\overline{BM}}{\overline{BM}+\overline{MC}}=\frac{2}{3}[/tex3]
  
  [tex3]3\overline{BM}=2\overline{BM}+2\overline{MC}[/tex3]
  
  [tex3]\overline{BM}=2\overline{MC}[/tex3]

Agora podemos encontrar as áreas correspondentes.

Note que os triângulos [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]AMC[/tex3] têm bases [tex3]BC[/tex3] e [tex3]MC[/tex3], respectivamente, e mesma altura. Ou seja, a proporção de suas bases irá definir a proporção de suas áreas.
Assim, se [tex3]\overline{MC}[/tex3] é [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] de [tex3]\overline{BC}[/tex3], a área de [tex3]AMC[/tex3] será [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] da área de [tex3]ABC[/tex3]:

• [tex3][AMC]=\frac{S}{3}[/tex3]

Agora só iremos trabalhar no triângulo [tex3]AMC[/tex3].

Note que os triângulos [tex3]AMC[/tex3] e [tex3]AMP[/tex3], tomando como bases os segmentos [tex3]AC[/tex3] e [tex3]AP[/tex3], possuem a mesma altura. Sendo [tex3]\overline{AP}[/tex3] igual a [tex3]\frac{2}{3}[/tex3] de [tex3]\overline{AC}[/tex3], temos:

• [tex3][AMP]=\frac{2}{3}\cdot [AMC]=\frac{ 2}{3}\cdot \frac{S}{3}=\frac{2S}{9}[/tex3]

Agora só iremos trabalhar no triângulo [tex3]AMP[/tex3].

Com o mesmo raciocínio, sendo [tex3]\overline{QM}[/tex3] igual a [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] de [tex3]\overline{AM}[/tex3], temos:

• [tex3][PMQ]=\frac{1}{4}\cdot [AMP]=\frac{1}{4}\cdot \frac{2S}{9}=\frac{S}{18}[/tex3]

Como AQ = 3y e QM = y, eu poderia dizer que BQ = 3z e QP = z, para manter a proporção?

Olá Hoshyminiag,

Você só poderia afirmar isso se AB fosse paralelo a PM, daí a proporção se manteria.

Grande abraço,
Prof. Caju