Estude! Com Prof. Caju

Alguém poderia me ajudar no calculo dessa integral? agradeço!

[tex3]\int\limits_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx[/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx=\lim_{a \to \infty} \int\limits_{0}^{a} xe^{-x}dx[/tex3]
Fazendo [tex3]u = e^{-x}[/tex3], temos [tex3]du = -xe^{-x}dx[/tex3], então ficamos com:
[tex3]\lim_{a \to \infty} \int\limits_{0}^{a} -du = \lim_{a \to \infty} -u|^{a}_{0} = \lim_{a \to \infty} (-e^{-x})|^{a}_{0} = \lim_{a \to \infty} -\frac{1}{e^a}-\(-\frac{1}{e^0}\) = 0+1 = 1[/tex3]

EDIT: Resolução errada, por favor vejam a resolução abaixo do Lucas pois esta está certa. Perdão.

A resposta final está correta, porém o cálculo da integral não.
[tex3]\int xe^{-x} \ dx =- xe^{-x} + \int e^{-x} \ dx = -xe^{-x} - e^{-x}=-e^{-x}(x+1)[/tex3]
Para x indo ao infinito, temos que:
[tex3]\lim_{x \to +\infty} -e^{-x} (x+1) = \lim_{ x \to + \infty} - \frac{x+1}{e^x}=0[/tex3]
Assim,
[tex3]\int_0^{+\infty} xe^{-x} dx = 0 + 1 = 1[/tex3]

Tem razão, na hora de calcular [tex3]du[/tex3] acabei "tombando" o [tex3]-x[/tex3] em vez de apenas o sinal negativo. Vou editar a postagem.