Ensino Médio ⇒ (Colégio Naval - 2004) Geometria Plana: Potência de Ponto Tópico resolvido

[angeloalberto]

Sejam [tex3]\lambda_1[/tex3] e [tex3]\lambda_2[/tex3] duas circunferências fixas de raios diferentes, que se cortam em [tex3]A[/tex3] e [tex3]B.[/tex3] [tex3]P[/tex3] é um ponto variável exterior às circunferências (no mesmo plano). De [tex3]P[/tex3] traçam-se retas tangentes à [tex3]\lambda_1[/tex3] e [tex3]\lambda_2,[/tex3] cujos pontos de contatos são [tex3]R[/tex3] e [tex3]S.[/tex3] Se [tex3]\overline{PR} = \overline{PS},[/tex3] pode-se afirmar que [tex3]P,A \text{ e }B:[/tex3]

a) estão sempre alinhados.
b) estão alinhados somente em duas posições.
c) estão alinhados somente em três posições.
d) estão alinhados somente em quatro posições.
e) Nunca estarão alinhados

Resposta:

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a

[cajuADMIN]

Começamos fazendo o desenho sem que os pontos estejam alinhados (pois nada sabemos sobre isso):

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Olhando para [tex3]C_1,[/tex3] a potência do ponto [tex3]P[/tex3] pode ser escrita da seguinte forma:

(1) [tex3]\overline{PR}^2=\overline{PT}\cdot\overline{PB}[/tex3]

Agora, olhando para [tex3]C_2,[/tex3] podemos escrever a potência do ponto [tex3]P[/tex3] da seguinte forma:

(2) [tex3]\overline{PS}^2=\overline{PQ}\cdot\overline{PB}[/tex3]

Mas [tex3]\overline{PS}=\overline{PR}[/tex3], podemos rescrever (2):

(3) [tex3]\overline{PR}^2=\overline{PQ}\cdot\overline{PB}[/tex3]

Substituindo (1) em (3), temos:

• [tex3]\overline{PT}\cdot\overline{PB}=\overline{PQ}\cdot\overline{PB}[/tex3]
  
  [tex3]\overline{PT}=\overline{PQ}[/tex3]

Essa igualdade só se verificará quando [tex3]T=Q,[/tex3] isso só irá ocorrer em [tex3]A,[/tex3] ou seja, [tex3]P, A \text{ e } B[/tex3] são sempre colineares.