Concursos Públicos ⇒ (Cespe Mec - 2015) Análise Combinatória Tópico resolvido

[fabiovieira]

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Um jogo é constituído de um tabuleiro com [tex3]4[/tex3] filas (colunas) numeradas de [tex3]1[/tex3] a [tex3]4[/tex3] da esquerda para direita e de [tex3]12[/tex3] pedras — [tex3]4[/tex3] de cor amarela , [tex3]4[/tex3] de cor verde e [tex3]4[/tex3] de cor branca . Essas [tex3]12[/tex3] pedras devem ser distribuídas nesse tabuleiro de modo que cada fila contenha exatamente três pedras, todas de cores diferentes. Uma jogada será considerada válida se as [tex3]12[/tex3] pedras estiverem distribuídas de acordo com essas regras. A figura acima apresenta uma possível jogada válida.

A partir dessas informações, julgue os itens seguintes considerando que, em cada fila, a ordem das pedras é definida de cima para baixo.

51 O número de maneiras distintas de se obter uma jogada válida em que as primeiras pedras de [tex3]2[/tex3] filas sejam amarelas é inferior a [tex3]700[/tex3].

Resposta

---

ERRADO

Obs.: Achei estranho o gabarito oficial

[ttbr96]

se as primeiras pedras de 2 filas sejam amarelas, então teremos seis casos de jogadas válidas a analisar:
1. primeiras pedras amarelas na primeira e na segunda fila.
2. primeiras pedras amarelas na primeira e na terceira fila.
3. primeiras pedras amarelas na prmeira e na quarta fila.
4. primeiras pedras amarelas na segunda e na terceira fila.
5. primeiras pedras amarelas na segunda e na quarta fila.
6. primeiras padras amarelas na terceira e na quarta fila.

analisemos o primeiro caso:
na fila 1:
primeira pedra: amarela
segunda pedra: 2 possibilidades
terceira pedra: 1 possibilidade
total de possibilidades na fila 1: 2 x 1 = 1 (AVB ou ABV)

na fila 2:
primeira pedra: amarela
segunda pedra: 2 possibilidades
terceira pedra: 1 possibilidade
total de possibilidades: 2 x 1 = 2 (AVB ou ABV)

na fila 3:
primeira pedra: 3 possibilidades
segunda pedra: 2 possibilidades
terceira pedra: 1 possibilidade
total de possibilidades: 3 x 2 x 1 = 6 (AVB, ABV, VAB, VBA, BAV ou BVA)

na fila 4:
primeira pedra: 3 possibilidades
segunda pedra: 2 possibilidades
terceira pedra: 1 possibilidade
total de possibilidades: 3 x 2 x 1 = 6 (AVB, ABV, VAB, VBA, BAV ou BVA)

logo, neste caso teremos: 2 x 2 x 6 x 6 = 144 jogadas válidas.

utilizando o mesmo processo acima para os demais casos,
logo, teremos no total: 144 x 6 = 864 jogadas válidas.

portanto a afirmação está errada: 864 > 700.

[fabiovieira]

Eu tinha calculado da seguinte forma:

{A, A, B, B}, {A, B, A, B}, {A, B, B, A}, {B, A, A, B}, {B, A, B, A}, {B, B, A, A}

{A, A, V, V}, {A, V, A, V}, {A, V, V, A}, {V, A, A, V}, {V, A, V, A}, {V, V, A, A}

{A, A, B, V}, {A, A, V, B}, {A, B, A, V}, {A, B, V, A},{A, V, A, B}, {A, V, B, A}
{B, A, A, V}, {B, A, V, A}, {B, V, A, A}, {V, A, A, B},{V, A, B, A}, {V, B, A, A}

{A, A, A, V}, {A, A, V, A}, {A, V, A, A}, {V, A, A, A}

{A, A, A, B}, {A, A, B, A}, {A, B, A, A}, {B, A, A, A}

{A, A, A, A}
Total de 33 possibilidades para cada primeira linha e multipliquei cada uma por [tex3]2^{4}[/tex3];
6*[tex3]2^{4}[/tex3] + 6*[tex3]2^{4}[/tex3] +12*[tex3]2^{4}[/tex3] + 4*[tex3]2^{4}[/tex3] + 4*[tex3]2^{4}[/tex3] + 1*[tex3]2^{4}[/tex3]=
= 528.
Tambem tentei usar o método destrutivo, calculando todas as permutações para a primeira linha e descontando posteriormente as permutações que não atendiam ao problema e acabou dando o mesmo resultado;
[tex3]6^{4}[/tex3]- 4*[tex3]2^{7} - 2^{8}[/tex3] = 528
Mas vendo sua resposta vi que errei feio, pode-se contar permutações repitidas nesse caso?
Obrigado!

[ttbr96]

temos dois tipos de pedras amarelas:
1. as pedras amarelas que o enunciado exige.
2. as pedras amarelas que podem estar em qualquer lugar.

ilustremos:
sejam
A = as pedras que o enunciado exige
a = as pedras que podem estar em qualquer lugar

AAaa é diferente de AaAa
AAaV é diferente de AaAV

na sua resolução a pedras amarelas são a mesma coisa, ou seja:
AAaa é igual a AaAa

daí concluí que:
A A _ _ (9 conjuntos distintos)
A _ A _ (9 conjuntos distintos)
A _ _ A (9 conjuntos distintos)
_ A A _ (9 conjuntos distintos)
_ A _ A (9 conjuntos distintos)
_ _ A A (9 conjuntos distintos)

cada uma delas temos: [tex3]9 \cdot 2^4 = 144[/tex3] jogadas válidas.
logo, no total, temos: 144 x 6 = 864 jogadas válidas.

espero que tenha entendido.

[fabiovieira]

Entendi sim ttbr96 Muitíssimo obrigado pela atenção amigo