Ensino Médio ⇒ Sistema de equações irracionais Tópico resolvido

[davisimoes]

resolva

[tex3]\begin{cases}
\sqrt{x} - \sqrt{y} = 2\sqrt{xy} \\
x + y = 20
\end{cases}[/tex3]

[jrneliodias]

Olá, Davisimoes.

Elevando a primeira equação ao quadrado,

[tex3](\sqrt x-\sqrt y)^2=(2\sqrt{xy})^2[/tex3]

[tex3]x+y-2\sqrt{xy}=4(\sqrt{xy})^2[/tex3]

Da segunda equação temos que [tex3]x+y=20[/tex3],

[tex3]4(\sqrt{xy})^2+2\sqrt{xy}-20=0[/tex3]

[tex3](2\sqrt{xy}+5)(\sqrt{xy}-2)=0[/tex3]

Como [tex3]\sqrt{xy}>0[/tex3], teremos que [tex3]xy=4[/tex3]

Dessa forma, multiplicando por [tex3]y[/tex3] a segunda equação e substituindo o produto obtido,

[tex3]4+y^2=20y[/tex3]

[tex3]y=10\pm 4\sqrt{6}[/tex3]

Da segunda equação novamente,

[tex3]x=10\mp 4\sqrt 6[/tex3]

Portanto, pela observação de undefinied3,

[tex3]S=\{(\,10+ 4\sqrt{6}\,, \,10- 4\sqrt{6}\,)\}[/tex3]

Espero ter ajudado. Bons estudos.

[undefinied3]

Creio que a única solução é [tex3]x=10+4\sqrt{6}=\(2+\sqrt{6}\)^2[/tex3] e [tex3]y=10-4\sqrt{6}=\(2-\sqrt{6}\)^2[/tex3], pois somente assim a primeira equação será satisfeita. Caso o contrário, teríamos:
[tex3]\sqrt{\(2-\sqrt{6}\)^2}-\sqrt{\(2+\sqrt{6}\)^2}= \left|\(2-\sqrt{6}\)\right|-\left|\(2+\sqrt{6}\)\right|=\sqrt{6}-2-2-\sqrt{6}=-4[/tex3]
Enquanto do lado direito da equação temos [tex3]+4[/tex3].

[davisimoes]

muito obrigado pela ajuda
me esclareceu de diversas formas