Pré-Vestibular ⇒ (FEI - 1/2015) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[dudasarti]

Se, num triângulo retângulo, os ângulos internos estão em PG, então o menor ângulo é, em radianos:

(A) [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] ([tex3]\sqrt{5}[/tex3] - 1)

(B) [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] ([tex3]\sqrt{5}[/tex3] - 2)

(C) [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3] (3 - [tex3]\sqrt{5}[/tex3])

(D) [tex3]\frac{\pi}{6}[/tex3] (2 - [tex3]\sqrt{3}[/tex3])

(E) [tex3]\frac{\pi}{6}[/tex3] (2 + [tex3]\sqrt{3}[/tex3])

[jrneliodias]

Olá, Dudasarti.

Devemos saber o maior ângulo de um triângulo retângulo é [tex3]\pi /2[/tex3] já que ele está oposto ao maior lado.

Desse modo, nossa progressão será

[tex3]\left(\frac{\pi}{2r^2}\,,\,\frac{\pi}{2r}\,,\,\frac{\pi}{2}\,\right)[/tex3]

Além disso, temos que soma dos outros dois é igual [tex3]\pi /2[/tex3] pela soma dos ângulos internos.

[tex3]\frac{\pi}{2r^2}+\frac{\pi}{2r}=\frac{\pi}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r}=1[/tex3]

[tex3]r^2+r-1=0[/tex3]

[tex3]r=\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

A razão deve ser positiva, pois os ângulo os são.

Então, o menor ângulo será

[tex3]a=\frac{\pi}{2r^2}[/tex3]

[tex3]a=\frac{\pi}{3+\sqrt 5}[/tex3]

[tex3]a=\frac{\pi(3-\sqrt 5)}{4}[/tex3]

Espero ter ajudado. Bons estudos.