Estude! Com Prof. Caju

A figura abaixo ilustra um alvo encontrado no salão DivertPAS, de onde os visitantes podem brincar de lançamento de dardos.
O objetivo desse jogo é marcar a maior soma possível de pontos em um determinado número de tentativas. Na figura, os raios [tex3]r_k[/tex3], para [tex3]k = 1,\ ...,\ 5[/tex3], das circunferências concêntricas mostradas estão em progressão aritmética de razão igual a [tex3]r_1\ >\ 0[/tex3]. Definindo [tex3]S_1[/tex3] como sendo a área da circunferência de raio [tex3]r_1[/tex3] e [tex3]S_k[/tex3], para [tex3]k = 2,\ ...,\ 5[/tex3], a área da coroa circular delimitada pelas circunferências de raios [tex3]r_{k-1}[/tex3] e [tex3]r_k[/tex3], julgue os itens a seguir.
(1) Pelas condições estabelecidas, os perímetros das circunferências de raio [tex3]r_k[/tex3] estão em progressão aritmética.
(2) Os valores [tex3]S_k[/tex3], para [tex3]k = 2,\ ...,\ 5[/tex3], estão em progressão geométrica.

1)

Como foi dito, os raios estão em PA, então:

[tex3]\frac{r_k + r_{k-2}}{2} = r_{k-1}[/tex3]

Os perímetros são:

[tex3]\frac{2\cdot \pi \cdot r_k +2\cdot \pi \cdot r_{k-2}}{2} =2\cdot \pi \cdot r_{k-1}[/tex3]
[tex3]\frac{r_k + r_{k-2}}{2} = r_{k-1}[/tex3]

A progressão se mantém.

2)

Se estão em PG, então:

[tex3]S_{k-2} \cdot S_k = S^2_{k-1}[/tex3]

[tex3]\pi \cdot (r^2_{k-2} - r^2_{k-1}) \cdot \pi \cdot (r^2_{k} -r^2_{k-1}) = \pi^2 \cdot (r^2_{k-1} - r^2_{k-2})^2[/tex3]

[tex3](r^2_{k-2} - r^2_{k-1}) \cdot (r^2_{k} -r^2_{k-1}) = (r^2_{k-1} - r^2_{k-2})^2[/tex3]

[tex3](r_{k-2}\cdot r_{k})^2 -(r_{k-2}\cdot r_{k-1})^2-(r_{k-1}\cdot r_{k})^2+r^4_{k-1} =r^4_{k-1}+r^4_{k-2} - 2\cdot r^2_{k-1}\cdot r^2_{k-2}[/tex3]

[tex3](r_{k-2}\cdot r_{k})^2 -(r_{k-1}\cdot r_{k})^2 =r^4_{k-2} - r^2_{k-1}\cdot r^2_{k-2}[/tex3]

[tex3]r^2_{k} \cdot (r^2_{k-2} - r^2_{k-1}) = r^2_{k-2}\cdot (r^2_{k-2}- r^2_{k-1})[/tex3]

[tex3]r_{k} = r_{k-2}[/tex3]

Absurdo, já que esses termos estão em PA.