A equação
[tex3]x+y=1[/tex3], (
[tex3]y=1-x[/tex3] em sua forma reduzida), determina o seguinte gráfico no plano cartesiano:
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Suponha que o par ordenado
[tex3](x_1, y_1)[/tex3] seja solução da equação dada.
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Obviamente, para qualquer
[tex3]x_2\leq x_1[/tex3] e
[tex3]y_2\leq y_1[/tex3], teremos
[tex3]x_2+y_2\leq 1[/tex3].
Nas condições acima, qualquer ponto de coordenadas
[tex3](x_2,y_2)[/tex3] estará localizado na mesma região (a reta divide o plano em duas regiões) da do ponto mostrado abaixo.
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Temos, então, que a inequação
[tex3]x+y\leq 1[/tex3] determina a região formada por todos os pontos
[tex3](x_2,y_2)[/tex3] tais que
[tex3]x_2\leq x_1[/tex3] e
[tex3]y_2\leq y_1[/tex3], onde
[tex3](x_1, y_1)[/tex3] é solução da equação
[tex3]x+y=1[/tex3].
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Agora, a entrada dos módulos.
Com o uso deles, o que acontece é que os sinais deixam de importar. Em outras palavras, se
[tex3](a,b)[/tex3] é solução da equação
[tex3]x+y=1[/tex3], então
[tex3](a,b)[/tex3],
[tex3](a,-b)[/tex3],
[tex3](-a,b)[/tex3] e
[tex3](-a,-b)[/tex3] são soluções de
[tex3]\mid x\mid+\mid y\mid=1[/tex3].
Ainda de outra forma, podemos dizer que as soluções de
[tex3]\mid x\mid+\mid y\mid=1[/tex3] correspondem à união das soluções das 4 equações abaixo:
[tex3]x+y=1[/tex3]
[tex3]x+(-y)=1[/tex3]
[tex3](-x)+y=1[/tex3]
[tex3](-x)+(-y)=1[/tex3], onde, no plano cartesiano, teríamos o seguinte gráfico:
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Agora, analisando apenas mais uma das equações derivadas da modular.
Veja que, por exemplo, na equação
[tex3]x+(-y)=1[/tex3], ao termos o sinal de
[tex3]y[/tex3] invertido, para qualquer
[tex3]x_2\leq x_1[/tex3] e
[tex3]y_2\ {\color{red}\geq}\ y_1[/tex3], teremos
[tex3]x_2+y_2\leq 1[/tex3]. Com isso, o gráfico que representa esta inequação é o seguinte:
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E se você analisar/desenhar o gráfico das outras duas equações, verá que, no final das contas, todo o plano será tomado, sendo a região delimitada pelas quatro retas a interseção das quatro regiões (uma de cada inequação), sendo, portanto, a solução da inequação
[tex3]\mid x\mid+\mid y\mid\leq1[/tex3].
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Bem, agora você tem um quadrado cujo lado mede
[tex3]\sqrt{2}[/tex3] e fica fácil validar as afirmações.