IME / ITA ⇒ (IME - 1988) Sistema Linear

[Lucasmed17]

Dado o sistema de equações lineares:

[tex3]\begin{cases}
x+y-az=0 \\
ax+y-z=0 \\
x+ay-z=1
\end{cases}[/tex3]

a) os valores de a para que o sistema tenha solução;
b) os valores de para que o sistema (x,y,z) satisfaça a equação x+y+z=1

Infelizmente o meu livro (Elementos da matemática vol.3) não oferece o gabarito desta questão. No entanto, eu a resolvi e cheguei nesta solução:

a) [tex3]a\neq -5[/tex3] e [tex3]a\neq 4[/tex3]
b) a=[tex3]\pm \sqrt{3}[/tex3]

Preciso de ajuda para ver se eu a acertei.

[fabit]

Vejamos, a matriz dos coeficientes é [tex3]A=\[\begin{array}{ccc}1&1&-a\\a&1&-1\\1&a&-1\end{array}\][/tex3], cujo determinante é, em função de [tex3]a[/tex3], igual a:
[tex3]\det(A)=-1-1-a^3+a+a+a=-a^3+3a-2[/tex3]

Procurando raízes racionais (que devem ser inteiras se existirem já que o coeficiente líder tem módulo 1):
[tex3]\begin{array}{r|ccc|c}p(a)=\det(A)&-1&0&3&-2\\\hline1&-1&-1&2&0\end{array}[/tex3]

Achei [tex3]p(1)=0[/tex3], ou seja, para [tex3]a=1[/tex3], o determinante é nulo. E os coeficientes -1, -1 e 2 do Briot já formam a quadrática quociente da divisão de p(a) por (a-1):
[tex3]p(a)=(a-1)(-a^2-a+2)=-(a-1)(a^2+a-2)[/tex3] (coloquei o menos pra frente porque me incomoda ficar carregando. Acho que a maioria concorda comigo rsrsrs).
Por sua vez, [tex3]a^2+a-2=(a+2)(a-1)[/tex3], logo [tex3]\det(A)=-(a+2)(a-1)^2[/tex3]

Assim, o sistema é possível e determinado para qualquer valor de [tex3]a[/tex3] que não seja nem -2 nem +1. Estes, em particular, devem ser tratados separadamente, substituindo-os no sistema original pra ver como fica:

a=1: [tex3]\begin{cases}x+y-z=0\\x+y-z=0\\x+y-z=1\end{cases}[/tex3] A segunda linha repete a primeira e a terceira linha contradiz as demais, pois [tex3]0\neq1[/tex3]. Sistema impossível. Não satisfaz a condição do item "a".

a=-2: [tex3]\begin{cases}x+y+2z=0\\-2x+y-z=0\\x-2y-z=1\end{cases}[/tex3] Aqui o mais indicado é escalonar...

[tex3]\begin{cases}x+y+2z=0\\0x+3y+3z=0\\0x-3y-3z=1\end{cases}[/tex3] Já dá pra ver que vai dar S.I., mas não custa nada concluir o escalonamento:

[tex3]\begin{cases}x+y+2z=0\\0x+3y+3z=0\\0x+0y+0z=1\end{cases}[/tex3] Então [tex3]a=-2[/tex3] também não faz parte do item "a".

Então a resposta do item "a" é somente [tex3]a\notin\{-2;1\}[/tex3]

O item b eu começaria eliminando z com a condição x+y+z=1, ou seja [tex3]\boxed{z=1-x-y}[/tex3]

Aí [tex3]\begin{cases}x+y-a(1-x-y)=0\\ax+y-(1-x-y)=0\\x+ay-(1-x-y)=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}(1+a)x+(1+a)y=a\\(1+a)x+2y=1\\2x+(1+a)y=2\end{cases}[/tex3]

Parece bom subtrair a primeira das outras...

[tex3]\begin{cases}(a-1)y=a-1\\(a-1)x=a-2\end{cases}[/tex3] (como [tex3]a\neq1[/tex3], podemos dividir tudo por (a-1) sem medo)

[tex3]\begin{cases}y=1\\x=\frac{a-2}{a-1}\end{cases}[/tex3]

Com isso, [tex3]z=1-\frac{a-2}{a-1}-1=\frac{2-a}{a-1}[/tex3].

Quero ver como isso fica no sistema original...

[tex3]\begin{cases}\frac{a-2}{a-1}+1-a\cdot\frac{2-a}{a-1}=0\\a\cdot\frac{a-2}{a-1}+1-\frac{2-a}{a-1}=0\\\frac{a-2}{a-1}+a-\frac{2-a}{a-1}=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a-2+a-1-2a+a^2=0\\a^2-2a+a-1+a-2=0\\a-2+a^2-a+a-2=a-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a^2=3\\a^2=3\\a^2=3\end{cases}\Rightarrow\boxed{a=\pm\sqrt{3}}[/tex3]

Então minhas contas, caso corretas, indicam que você acertou somente o segundo item.

Abs

[Lucasmed17]

Muito obrigado!