Pré-Vestibular ⇒ (FEMA - Medicina - 2016) Geometria Espacial Tópico resolvido

[magabi2552]

Um copo, na forma de um cone reto com 12 cm de altura e diâmetro da boca igual a 6 cm, contém líquido até a altura de 8 cm, conforme mostra a figura 1. Após serem colocadas nesse copo 3 cerejas, cujo volume de cada uma pode ser calculado através do volume de uma esfera com 2 cm de diâmetro, a altura do líquido dentro do copo teve um aumento h, conforme mostra a figura 2.

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Utilizando [tex3]\sqrt[3]{11}[/tex3] = 2,2, é correto concluir que a altura h, em cm,
é igual a
(A) 0,95.
(B) 0,80.
(C) 1,00.
(D) 0,85.
(E) 0,90.

Resposta: Alternativa: B

[fabit]

Me amarro num Martini. Faz tempo que não bebo. E que questão politicamente incorreta, hein? Viva a Medicina da FEMA!!!

Não sabendo decorado o volume do tronco de cone, vamos por semelhança:

O líquido à esquerda está com raio r tal que [tex3]\frac{r}{8}=\frac{6}{12}\Rightarrow\boxed{r=4}[/tex3]. Não sei ainda se isso será útil, mas não custa nada saber.

Por outro lado, as cerejas têm raio unitário e portanto o volume conjunto é [tex3]3\times\frac{4}{3}\pi\times1^3=4\pi[/tex3].

O volume que é a soma do Martini com as cerejas na direita é um cone semelhante ao da esquerda e portanto a razão dos volumes é o cubo da razão de semelhança: [tex3]\(\frac{h+8}{8}\)^3=\frac{V+4\pi}{V}[/tex3] onde V é o volume da esquerda (é, parece que o raio será útil).

[tex3]V=\frac{1}{3}\pi 4^2\times8=\frac{128\pi}{3}\Rightarrow\frac{h+8}{8}=\sqrt[3]{\frac{128\pi+12\pi}{128\pi}}[/tex3]

[tex3]\frac{h}{8}+1=\sqrt[3]{\frac{140}{128}}[/tex3].

Já vi problema no horizonte: foi dada a raiz cúbica de 11 para usar como aproximação. Mas 140 não tem fator primo 11. Ou eu ou o enunciado está com problema. Prosseguindo:

[tex3]\frac{h}{8}=\sqrt[3]{\frac{140}{128}}-1[/tex3]

[tex3]h=\sqrt[3]{\frac{8^3\times140}{128}}-8=\sqrt[3]{4\times140}-8=\sqrt[3]{560}-8[/tex3]

Errei alguma coisa?

[ttbr96]

Olá, fabit

Neste trecho: "O líquido à esquerda está com raio r tal que [tex3]\frac{r}{8}=\frac{6}{12}\Rightarrow\boxed{r=4}[/tex3]"

Este não é valor do raio r, mas o valor do diâmetro. Então, neste caso, o raio r seria igual a 2.

Este foi o único erro encontrado na resolução. Seguindo os demais cálculos com r = 2, acharemos que a altura h em questão é igual a 0,80.

[fabit]

Muito obrigado. A culpa é do Martini

Agora fica assim:

[tex3]\frac{2r}{8}=\frac{6}{12}\Rightarrow\boxed{r=2}[/tex3]

(...)

[tex3]V=\frac{1}{3}\pi 2^2\times8=\frac{32\pi}{3}\Rightarrow\frac{h+8}{8}=\sqrt[3]{\frac{32\pi+12\pi}{32\pi}}[/tex3]

[tex3]\frac{h}{8}+1=\sqrt[3]{\frac{44}{32}}=\sqrt[3]{\frac{11}{8}}[/tex3].

(...)

[tex3]\frac{h}{8}=\frac{\sqrt[3]{11}}{\sqrt[3]{8}}-1\Rightarrow h=\frac{8\times2,2}{2}-8=8,8-8[/tex3]

[tex3]\boxed{h=0,8}[/tex3]

Letra B.

Valeu!