Pré-Vestibular ⇒ (Unicid - Medicina - 2015) Números Complexos Tópico resolvido

[magabi2552]

Considere os números complexos z1 = a + 2i, z2 = 2 + bi e z3 = b + ai, com a e b números reais positivos. Sabendo que (z1 + z2) · z3 = 6i, o valor de 2b é
(A) 10.
(B) 2.
(C) 6.
(D) 8.
(E) 4.

Resposta: Alternativa: B.

[LucasPinafiMOD]

[tex3](z_1+z_2) \cdot z_3 = (a+2i+2+bi)(b+ai)= (a+2+i(2+b))(b+ai) \\ ab+a^2i+2b+2ai+2bi+2ai^2+b^2i+abi^2 =6i \\ (2b-2a)+i(a^2+2a+2b+b^2)=6i \\ \begin{cases} b-a=0\\ a^2+2a+2b+b^2 = 6 \end{cases} \\ b=a \\ a^2 +2a+2a+a^2 = 6 \Rightarrow a^2 + 2a = 3 \Rightarrow a^2+2a+1=4 \\ (a+1)^2 = 4 \Rightarrow a+1 = \pm 2 \\ a + 1 = 2 \Rightarrow a =1 \\ \therefore b = a =1 \Rightarrow \ 2b = 2\cdot 1 = 2[/tex3]