(Gazeta Matemática, Romênia) Equação do 2º Grau

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diogopfp Offline: Mensagens: 145; Registrado em: 03 Jun 2011, 21:04; Agradeceu: 2 vezes; Agradeceram: 34 vezes

Jan 2016 08 10:30

(Gazeta Matemática, Romênia) Equação do 2º Grau

Mensagempor diogopfp » 08 Jan 2016, 10:30

Mensagem por diogopfp » 08 Jan 2016, 10:30

(Gazeta Matemática, Romênia) Sejam [tex3]a, b \in\mathbb{Z}[/tex3]. Sabendo que a equação [tex3](ax- b)^2 + (bx- a)^2 = x[/tex3], tem uma raiz inteira, encontre os valores de suas raízes.

Editado pela última vez por caju em 05 Ago 2025, 08:17, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3

diogopfp

tiagomiranda Offline: Mensagens: 17; Registrado em: 13 Dez 2012, 22:03; Agradeceram: 6 vezes

Jan 2016 13 01:04

Re: (Gazeta Matemática, Romênia) Equação do 2º Grau

Mensagempor tiagomiranda » 13 Jan 2016, 01:04

Mensagem por tiagomiranda » 13 Jan 2016, 01:04

Veja o exercício 32 no link abaixo.
Link:http://matematica.obmep.org.br/uploads/ ... uacoes.pdf

tiagomiranda

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Primeira Postagem

Auto Excluído (ID:20808)

Seja [tex3]f(x)=a^2x^2-(b^2-2ac)x+c^2[/tex3], com [tex3]a,b,c \in \mathbb{Q}^*_+[/tex3]. Provar que existe [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3] tal que [tex3]f(n)=0[/tex3] então [tex3]n[/tex3] é um quadrado perfeito.

Solução do Rufino:
O discriminante da...

Últ. msg

Ittalo25

Não necessariamente inteiro, mas deve ser racional.

O Rufino passou batido nessa.

Porque se for irracional, teríamos algo do tipo: [tex3]\frac{x+\sqrt{2}}{2}[/tex3], com x racional. Ou seja, a soma seria irracional.
Ittalo252Auto Excluído (ID:20808)2: 3 Resp.; 1612 Exibições; Últ. msg por Ittalo25
28 Mai 2018, 20:25

(Romênia) Equação do 2° Grau

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Enviado em Olimpíadas
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por Aron » 17 Ago 2012, 01:58 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Aron

Considere a função quadrática [tex3]f(x)=x^{2}+(a+b+c)x+\lambda(ab+ac+bc)[/tex3] onde [tex3]a,\ b,\ c[/tex3] são reais positivos e [tex3]\lambda[/tex3] um real. Prove que:

a) Se [tex3]\lambda\leq \frac{3}{4}[/tex3], a função possui raízes...

Últ. msg

Aron

para a função quadrática possuir raízes reais o [tex3]\Delta \geq 0[/tex3], então

[tex3]f(x)=x^{2}+(a+b+c)x+\lambda(ab+ac+bc)[/tex3]

[tex3](a+b+c)^2-4\lambda (ab+ac+bc)\geq 0\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 4\lambda(ab+ac+bc)[/tex3]

como [tex3]a,b,c >0[/tex3]...
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Primeira Postagem

Babi123

Determine todos os números primos [tex3]p[/tex3] e todos os inteiros positivos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] tal que [tex3]x^3+y^3=p(xy+p)[/tex3].

Últ. msg

FelipeMartin

não vi todos os detalhes, mas, parece ok. O chat começou pelo mesmo lugar que eu: provando que x e y são primos entre si. Depois parece que usou até o lifting the exponent.

Parece-me ok, alguém depois verifique tudo.

FelipeMartin4Babi1231ProfLaplace1: 5 Resp.; 599 Exibições; Últ. msg por FelipeMartin
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