Pré-Vestibular ⇒ (UNESP) Matrizes Tópico resolvido

[Gauss]

Considere as matrizes reais 2x2 do tipo [tex3]A(x)=\begin{pmatrix}
cos\ x & sen\ x \\
sen\ x & cos\ x \\
\end{pmatrix}[/tex3].
A) Calcule o produto [tex3]A(x).A(x)[/tex3].
B) Determine todos os valores de [tex3]x\in [0,2\pi ][/tex3] para os quais [tex3]A(x).A(x)=A(x)[/tex3].

A)

[tex3]A(x).A(x)=\begin{pmatrix}
1 & sen\ 2x \\
sen\ 2x & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

B)

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & sen\ 2x \\
sen\ 2x & 1 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos\ x & sen\ x \\
sen\ x & cos\ x \\
\end{pmatrix}\\\\\begin{cases}
cos\ x=1\ \ \ \ \ (I) \\
sen\ 2x=sen\ x\ \ \ \ (II)
\end{cases}\\\\(II)\rightarrow 2sen\ x.cos\ x-sen\ x=0\\sen\ x(2cos\ x-1)=0\\sen\ x=0\ ou\ cos\ x=\frac{1}{2}\\sen\ x=0\rightarrow 0;\pi ;2\pi \\\\cos\ x=\frac{1}{2}\rightarrow \frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3};\frac{5\pi }{3}\\\\S=(0;\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3};\pi ;\frac{4\pi }{3};\frac{5\pi }{3};2\pi )[/tex3]

Gostaria de saber se eu errei alguma coisa, pois algumas soluções do meu conjunto solução, aparentemente, não entraram no conjunto solução desta questão.

Resposta

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[tex3]x=0\ ou\ x=2\pi[/tex3]

[undefinied3]

Lembre-se que trata de um sistema. A solução que você apresentou satisfaz apenas a segunda equação. Retomando a primeira, temos que os possiveis valores para [tex3]cos(x)=1[/tex3] são 0 e [tex3]2\pi[/tex3]. Fazendo a intersecção dos conjuntos soluções, obtemos apenas como resposta do sistema 0 e [tex3]2\pi[/tex3]