Ensino Médio ⇒ Determinantes Tópico resolvido

[wagner sá]

Considere a matriz [tex3]A[/tex3] de ordem [tex3]2,[/tex3] com os seguintes elementos:

• [tex3]\begin{cases}a_{11} = \sen x\\
  a_{12} = \cos x\\
  a_{21} = -\sen x\\
  a_{22} = \cos x\end{cases}[/tex3]

Determine a soma dos valores de [tex3]x, x\in [0,2\pi],[/tex3] tais que [tex3]\det A = \frac{1}{2}\cdot [/tex3]

[Thales Gheós]

[tex3] \det(A)=a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}[/tex3]

[tex3] \det(A)=\sen {(x)}\cdot \cos {(x)}+\sen {(x)}\cdot \cos {(x)}[/tex3]

[tex3] \sen {(a+b)}=\sen {(a)}\cdot \cos {(b)}+\sen {(b)}\cdot \cos {(a)}[/tex3]

[tex3] \sen {(2x)}=\sen {(x)}\cdot \cos {(x)}+\sen {(x)}\cdot \cos {(x)}[/tex3]

[tex3] \sen {(2x)}=\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3] 2x=\frac{\pi}{6} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}[/tex3]

ou [tex3] 2x=\frac{5\cdot \pi}{6} x=\frac{5\cdot \pi}{3}[/tex3]

[wagner sá]

o exercício pede a soma dos valores de x!!! o gabarito dá como resposta 3pi!!! como fazer pra encontrar???

[cajuADMIN]

Olá Thales,

No cálculo final você errou em continhas...

[tex3]2x=\frac{\pi}{6}\rightarrow x=\frac{\pi}{12}[/tex3]

[tex3]2x=\frac{5.\pi}{6}\rightarrow x=\frac{5\pi}{12}[/tex3]

Agora devemos verificar mais valores, pois se [tex3]x[/tex3] varia de [tex3]0[/tex3] a [tex3]2\pi[/tex3] então [tex3]2x[/tex3] varia de [tex3]0[/tex3] a [tex3]4\pi[/tex3]

Ainda devemos verificar outros pontos. São eles:

[tex3]2x=\frac{13\pi}{6}\rightarrow x=\frac{13\pi}{12}[/tex3]

[tex3]2x=\frac{17\pi}{6}\rightarrow x=\frac{17\pi}{12}[/tex3]

Então encontramos os valores de x: [tex3]\frac{\pi}{12}[/tex3], [tex3]\frac{5\pi}{12}[/tex3], [tex3]\frac{13\pi}{12}[/tex3], [tex3]\frac{17\pi}{12}[/tex3]

Somando, temos:

[tex3]\frac{\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}+\frac{13\pi}{12}+\frac{17\pi}{12}=3\pi[/tex3]

[Thales Gheós]

Valeu Cajú! Obrigado.

[wagner sá]

Professores, valeu mesmo!
Obrigadão, e um forte abraço!