Ensino Médio ⇒ Custo Mínimo

[Ivo213]

Uma caixa retangular, com tampa, possui um volume de 16 m³. Encontre as dimensões que produzem a caixa de menor custo, se o material utilizado nas laterais custa a metade do utilizado no fundo e na tampa.

Desde já ficarei muito agradecido a quem conseguir resolver.

[adrianotavares]

Oi.

[tex3]x[/tex3]--> base da caixa

[tex3]y[/tex3]--> altura da caixa

[tex3]m[/tex3] --> custo da área lateral

[tex3]2m[/tex3] --> custo da área da base

[tex3]A=2x^{2}+4xy[/tex3]

De acordo com o enunciado podemos escrever:

[tex3]x^{2}y=16\rightarrow y=\left(\frac{16}{x^{2}}\right)[/tex3]

[tex3]C=4mx^{2}+4mxy \rightarrow C=4mx^{2}+\frac{4mx.16}{x^{2}}\rightarrow C=\frac{4mx^3+64m}{x}[/tex3]

Aplicando derivadas teremos:

[tex3]C'=\frac{12x^{2}m.x-1(4mx^{3}+64m)}{x^{2}}[/tex3]

Fazendo [tex3]C'=0[/tex3] teremos:

[tex3]12mx^{3}=4mx^{3}+64m\rightarrow 8mx^{3}=64m\rightarrow x^{3}=8\rightarrow x=2[/tex3]

[tex3]y=\frac{16}{x^{2}} \rightarrow y=4[/tex3]

[Ivo213]

Bom dia, Adriano, e muitíssimo obrigado por sua solução bastante clara e detalhada.


Abraço.
Ivo213