Pré-Vestibular ⇒ (UNEB-2015) Equação trigonométrica Tópico resolvido

[doraoliveira]

O número de soluções da equação sen2x=senx, no intervalo 0 [tex3]\leq[/tex3] x [tex3]\leq[/tex3] 2 [tex3]\pi[/tex3]

Fiz o cálculo e achei cosx=1, o que pra mim só me daria duas soluções (0 e 2 [tex3]\pi[/tex3]), mas o gabarito diz que o número de soluções é 4. Alguém pode me ajudar?
Obrigada!

[Ittalo25MOD]

[tex3]sen(2x) = sen(x)[/tex3]

[tex3]2\cdot sen(x) \cdot cos(x) = sen(x)[/tex3]

Já aparecem soluções:

[tex3]sen(x) = 0\rightarrow x \in \{ 0^o , 180^o \}.[/tex3]

Continuando:

[tex3]2\cdot sen(x) \cdot cos(x) = sen(x)[/tex3]

[tex3]2 \cdot cos(x) = 1[/tex3]

[tex3]cos(x) = \frac{1}{2}\rightarrow x \in \{ 60^o , 300^o \}[/tex3]

4 soluções

[doraoliveira]

Por que o senx não é 1? Já que eu corto o senx dos dois lados e dá 1..

[jeabud]

Ittalo25, Esse mesmo exercício no intervalo - [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] [tex3]\leq x\leq \frac{5\pi }{4}[/tex3]?
Gab: 4 soluções...

Seria isso?

[tex3]sen2x=senx[/tex3]

[tex3]\therefore 2x=x+2k\pi [/tex3] ou
[tex3]2x=\pi -x+2k\pi [/tex3]

[tex3]\therefore x=2k\pi (1) [/tex3] ou
[tex3]x=\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}(2)[/tex3]

Fazendo as possibilidades para a restrição:

1) dúvida...o intervalo fica -45 <= x <= 225⁰??
2) dúvida..

Em (1)..
Para k = 0, x = 0 ok
Para k = 1, x = 2π ok
Para k = 2, x = 4π (passou)

Em (2)
Para k = 0, x= π/3 ok
Para k = 1, x = π ok.
Para k = 2, x =5π/3 (n serve),pois n está no intervalo
Para k = 3, x= 7π/3 (n serve, pois passou do intervalo)

S = {0,π/3, π, 2π}