Ensino Fundamental ⇒ Material Anglo - técnicas algébricas Tópico resolvido

[oliviaserks]

"Z denota o conjunto dos números inteiros {..., -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., h, h+1, ...}. Com base nessa informação, faça o que se pede.
a) Verifique se todo inteiro não múltiplo de 3 é o antecessor ou o sucessor de um múltiplo de 3;
b) Mostre que o quadrado de qualquer número inteiro não múltiplo de 3 é o sucessor de um múltiplo de 3 (exemplo: 5² é sucessor de 24)."
Gabarito: "a) h = 3n [tex3]\pm 1[/tex3]
b) Demonstração: h² = (3n [tex3]\pm 1[/tex3])^2
h² = 9n² [tex3]\pm 6n[/tex3] + 1
h² = 3(3n² [tex3]\pm 2n[/tex3]) + 1
h² = 3m + 1 (c.q.d.)"
Alguém, por favor, poderia explicar essa resolução, como começar, verificar e demonstrar o que se pede no exercício?

[Ittalo25MOD]

a)

Um número inteiro pode deixar restos 0,[tex3]\pm 1[/tex3] ou [tex3]\pm 2[/tex3] na divisão por 3. Se ele deixa resto zero, obviamente é múltiplo de três. A questão fala sobre os não múltiplos de 3:

[tex3]3n\pm 2[/tex3]
[tex3]3n\pm 1[/tex3]

Bom, [tex3]3n+2[/tex3] é antecessor de [tex3]3n+3 = 3\cdot (n+1)[/tex3], ou seja é antecessor de um múltiplo de 3.

[tex3]3n+1[/tex3] é sucessor de [tex3]3n[/tex3], ou seja é sucessor de um múltiplo de 3.

Os outros casos (com sinais trocados) são de modo análogo.

__________________________________________________________

b)

Não múltiplos de 3:

[tex3]3n\pm 2[/tex3]
[tex3]3n\pm 1[/tex3]

Basta elevar ao quadrado:

[tex3](3n\pm 2)^2 =[/tex3]
[tex3]9n^2 \pm 12n + 4 =[/tex3]
[tex3]9n^2 \pm 12n + 3 + 1 =[/tex3]
[tex3]3\cdot (3n^2 \pm 4n + 1) + 1[/tex3]

[tex3](3n\pm 1)^2 =[/tex3]
[tex3]9n^2 \pm 6n + 1 =[/tex3]
[tex3]3\cdot (3n^2 \pm 2n) + 1[/tex3]

Sucessores de um múltiplo de 3.