Ensino Médio ⇒ Números Irracionais Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Seja o produto de dois números irracionais,

[tex3]\(5\sqrt2+2\sqrt5\)\(p\sqrt2+q\sqrt5\)=1[/tex3]

com [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] racionais, então, [tex3]p+q[/tex3] é igual a:

(A) [tex3]1[/tex3]
(B) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{1}{10}[/tex3]

[Ittalo25MOD]

[tex3](5\sqrt2+2\sqrt5)\cdot (p\sqrt2+q\sqrt5)=1[/tex3]

[tex3]q = \frac{-2p\sqrt{10}-10p+1}{5\cdot (2+\sqrt{10})}[/tex3]

[tex3]q = \frac{-2p\sqrt{10}-10p+1}{5\cdot (2+\sqrt{10})} \cdot \left(\frac{2-\sqrt{10}}{2-\sqrt{10}}\right)[/tex3]

[tex3]q = \frac{-2-6p\sqrt{10}+\sqrt{10}}{30}[/tex3]

Essa raiz de 10 tem que sumir, logo: [tex3]p = \frac{1}{6}\rightarrow q = -\frac{1}{15}[/tex3]

Assim:

[tex3]p +q =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{6} -\frac{1}{15} =[/tex3]

[tex3]\frac{1}{10}[/tex3]

Se eu não errei nas contas é isso