Ensino Médio ⇒ Progressão Geométrica: Limite da Soma

[daniloesteves1]

O valor de [tex3]\text{sen}\, (\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{4} +...+ \frac{\pi}{2^n} + ...)[/tex3], [tex3]n \in \mathbb{N}[/tex3], é:

a) -1

b) 0

c) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

d) 1

[triplebig]

Vou analisar dentro do parênteses:

[tex3]\hspace{50pt}\Large\frac{\pi}{2}\,+\,\frac{\pi}{4}\,+\,\frac{\pi}{8} \,+\,...\,\large=\,\pi\,\cdot\left(\Large\frac{1}{2}\,+\,\frac{1}{4}\,+\,\frac{1}{8}\,+\,...\right)[/tex3]


Partindo da fórmula de soma infinita de PG, com [tex3]a_1\,=\,\Large\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]q\,=\,\frac{1}{2}[/tex3] :


[tex3]\hspace{50pt}S_{\infty}\,=\,\Large\frac{a_1}{1\,-\,q}[/tex3]


[tex3]\hspace{86pt}=\,\Large\frac{\frac{1}{2}}{1\,-\,\frac{1}{2}}[/tex3]


[tex3]\hspace{85pt}=\,1[/tex3]


Voltando na equação original, e substituindo o resultado:


[tex3]\hspace{50pt}\pi\,\cdot\left(\Large\frac{1}{2}\,+\,\frac{1}{4}\,+\,\frac{1}{8}\,+\,...\right)\,=\,\pi\,\cdot\,1\,=\,\pi[/tex3]


Com isso, temos: [tex3]\text{sen}\pi\,=\,0[/tex3]


Letra [tex3]\boxed{B}[/tex3]