IME / ITA ⇒ (Colegio Naval) Divisão Tópico resolvido

[cicero444]

Quantos devem ser os números naturais k, de modo que a divisão de 113k+7 por k+1 seja exata ?

[Ittalo25MOD]

[tex3]k \equiv -1 \mod(k+1)[/tex3]

Queremos:

[tex3]113k+7 \equiv 0 \mod(k+1)[/tex3]

[tex3]113\cdot (-1)+7 \equiv 0 \mod(k+1)[/tex3]

[tex3]-106 \equiv 0 \mod(k+1)[/tex3]

Olhando os divisores de -106:

[tex3]\{\pm 1,\pm 2,\pm 53,\pm 106 \}[/tex3]

Como k é natural:

[tex3]k = 0[/tex3]
[tex3]k = 1[/tex3]
[tex3]k = 52[/tex3]
[tex3]k = 105[/tex3]

Aí vem aquele problema de considerar o zero natural ou não, mas enfim....

[cicero444]

Resposta é 4.

[brunopaivabp]

Podemos escrever a divisão em forma de fração [tex3]\frac{113k+7}{k+1}[/tex3]. A única coisa que precisamos de lembrar é que essa fração é um número inteiro escrito em forma de fração.
Somando no numerador a expressão [tex3]113 - 113 [/tex3], em nada se altera, pois estamos na verdade somando por 0.
[tex3]\frac{113k+7 + 113 - 113}{k+1}[/tex3]
[tex3]\frac{113k+113 - 113 + 7}{k+1}[/tex3]
[tex3]\frac{113(k+1) - 106}{k+1}[/tex3]
[tex3]\frac{113(k+1)}{(k+1)} - \frac{106}{k+1}[/tex3]
Como sabemos que [tex3]k+1>0[/tex3], podemos cancelar [tex3]\frac{(k+1)}{(k+1)}[/tex3]. Temos então:
[tex3]113 - \frac{106}{k+1}[/tex3]
Decompondo 106 em fatores primos, temos que [tex3]106=2.53[/tex3]
Portanto, temos como divisores o conjunto {1,2,53,106}

[tex3]k+1 = 1 \therefore k=0 [/tex3]
[tex3]k+1 = 2 \therefore k=1 [/tex3]
[tex3]k+1 = 53 \therefore k=52 [/tex3]
[tex3]k+1 = 106 \therefore k=105 [/tex3]

Resposta: [tex3]4[/tex3]