Pré-Vestibular ⇒ (FITS-2015) Geometria Analítica Tópico resolvido

[doraoliveira]

Se a reta [tex3]r:\,y=ax+b[/tex3] é equidistante do ponto [tex3]P=(-3,\,5)[/tex3] e da reta [tex3]s:\,y=\frac{4x}{3}-1[/tex3], então o valor de [tex3]\frac{a}{b}[/tex3] é:

Resposta

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Resposta: 1/4

[petrasMOD]

@doraoliveira,
Gabarito errado

Distância do Ponto P(-3, 5) à Reta 4x - 3y - 3 = 0
[tex3]d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|4(-3) - 3(5) - 3|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-12 - 15 - 3|}{5} = \frac{|-30|}{5} = \mathbf{6}[/tex3]
O ponto P é a interseção de s com uma reta perpendicular a ela que passa por P.
O coeficiente de s é [tex3] m_s = \frac{4}{3} \implies m_{\perp} = -\frac{3}{4}\\y - 5 = -\frac{3}{4}(x + 3) \implies 4y - 20 = -3x - 9 \implies \mathbf{3x + 4y - 11 = 0}[/tex3]
Interseção ([tex3]s \cap r_{\perp}):[/tex3]Sistema:[tex3]4x - 3y = 3 (\time 4) \to 16x - 12y = 12\\3x + 4y = 11 (\time 3) \to 9x + 12y = 33\\Somando: 25x = 45 \implies x = 1,8\\
Substituindo: 3(1,8) + 4y = 11 \implies 5,4 + 4y = 11 \implies 4y = 5,6 \implies y = 1,4[/tex3]
Ponto P' = (1,8; 1,4)
Ponto Médio (M) entre P(-3, 5) e P'(1,8; 1,4):
[tex3]M = \left( \frac{-3 + 1,8}{2}, \frac{5 + 1,4}{2} \right) = \left( \frac{-1,2}{2}, \frac{6,4}{2} \right) = \mathbf{(-0,6; 3,2)}[/tex3]
A mediatriz do segmento PP' é a reta que passa por M e é perpendicular a PP'.
Como PP' é perpendicular a s, a mediatriz será paralela à reta s.
Coeficiente angular: [tex3]m = \frac{4}{3}[/tex3] (o mesmo de s).
Ponto: [tex3]M(-0,6; 3,2).y - 3,2 = \frac{4}{3}(x + 0,6)\\3y - 9,6 = 4x + 2,4 \implies4x - 3y + 2,4 + 9,6 = 0\\4x - 3y + 12 = 0 \implies y = \frac{4x}{3}+4\\
\therefore \frac{a}{b}=\frac{\frac{4}{3}}{4}=\boxed{\frac{1}{3}} [/tex3]