Ensino Superior ⇒ Desafio: Cálculo de várias variáveis e Geometria Analítica 2 Tópico resolvido

[Drako]

Link para P1: caju.tv/x-j24
P3: caju.tv/eq32y
P4: caju.tv/iwmrc

P2: Encontre uma equação vetorial para a curva de interseção das superfícies de P1.

Resposta

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Em P1 encontramos a equação [tex3]\(x+\frac{1}{2}\)^{2}+\(y+\frac{1}{2}\)^{2}=\frac{3}{2}[/tex3] que representa o domínio da elipse em XY, rescrevendo-a, vem que [tex3]\(\sqrt{\frac{2}{3}}\(x+\frac{1}{2}\)\)^{2}+\(\sqrt{\frac{2}{3}}\(y+\frac{1}{2}\)\)^{2}=1 \rightarrow \begin{cases}
\sqrt{\frac{2}{3}}\(x+\frac{1}{2}\)=\cos (t) \\
\sqrt{\frac{2}{3}}\(y+\frac{1}{2}\)=\sen (t)
\end{cases} \rightarrow \begin{cases}
x=-\frac{1}{2} +\sqrt{\frac{3}{2}}\cos (t)\\
y=-\frac{1}{2} +\sqrt{\frac{3}{2}}\sen (t)
\end{cases} \rightarrow z=2-\sqrt{\frac{3}{2}}(\sen (t)+\cos (t))[/tex3]
[tex3]\therefore \vec{r(t)}=\(-\frac{1}{2} +\sqrt{\frac{3}{2}}\cos (t),-\frac{1}{2} +\sqrt{\frac{3}{2}}\sen (t),2-\sqrt{\frac{3}{2}}(\sen (t)+\cos (t))\); 0\leq t\leq 2\pi[/tex3]

[Drako]

Estudando o vetor velocidade da curva:
[tex3]\vec{r'(t)}=\(-\sqrt{\frac{3}{2}}\sen (t),\sqrt{\frac{3}{2}}\cos (t),-\sqrt{\frac{3}{2}}(\cos (t)-\sen (t))\)[/tex3]
Os máximos e mínimos da elipse ocorrem quando [tex3]\vec{r'(t)} \parallel XY[/tex3], ou seja, [tex3]\vec{r'(t)} \perp (0,0,1)\rightarrow \vec{r'(t)}\cdot (0,0,1)=0\rightarrow -\sqrt{\frac{3}{2}}(\cos (t)-\sen (t))=0[/tex3], logo, para [tex3]0\leq t\leq 2\pi,t=\frac{\pi}{4}[/tex3] ou [tex3]t=\frac{5\pi}{4}[/tex3].
Então o ponto de mínimo procurado é [tex3]\(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2},2-\sqrt{3}\)[/tex3] e o de máximo é [tex3]\(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2},2+\sqrt{3}\)[/tex3].