Ensino Superior ⇒ Desafio: Cálculo de várias variáveis e Geometria Analítica 4

[Drako]

P4: Encontre as constantes a e b e as equações que estabelecem as mudanças de coordenadas entre [tex3]R^{3}[/tex3] e as coordenadas (x',y') em relação a eixos perpendiculares pertencentes ao plano x+y+z=1 (análogas ao [tex3]R^{2}[/tex3]) tal que a elipse anterior esteja centrada nestes eixos e possua equação [tex3]\frac{x'^{2}}{a^{2}}+\frac{y'^{2}}{b^{2}}=1[/tex3].

Resposta

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Primeiro encontramos o centro da elipse, que é a imagem do ponto central de seu domínio, este é a interseção da reta [tex3](x,y,z)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)+\alpha (0,0,1)[/tex3] com o plano x+y+z=1[tex3]\rightarrow C:(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},2)[/tex3]. Escolhemos o eixo x' como aquele que passa pela origem da elipse e pelos vértices mais distantes e é, em [tex3]R^{3}[/tex3], a reta de equação: [tex3](x,y,z)=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)+\alpha (\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-\sqrt{3})[/tex3], simplificamos o vetor diretor tornando-o unitário: [tex3]v1=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)[/tex3]. O eixo y' é aquele que passa pela origem e pelos vértices mais próximos, interpretamos ele como uma reta onde seu vetor diretor [tex3]v\in R^{3}/v\perp(1,1,-2)[/tex3]e[tex3]v\perp(1,1,1)\rightarrow v=(3,-3,0)[/tex3][tex3]\rightarrow v2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)[/tex3]. Definimos o vetor [tex3]r[/tex3] como: [tex3](x,y,z)-(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},2)=(x+\frac{1}{2},y+\frac{1}{2},z-2)[/tex3] e este sendo combinação linear de [tex3]v1[/tex3] e [tex3]v2[/tex3][tex3]\rightarrow \left(x+\frac{1}{2},y+\frac{1}{2},z-2\right)=\frac{x'}{\sqrt{6}}(1,1,-2)+\frac{y'}{\sqrt{2}}(1,-1,0)\rightarrow \therefore \begin{cases}
x=\frac{x'}{\sqrt{6}}+\frac{y'}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2} \\
y=\frac{x'}{\sqrt{6}}-\frac{y'}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2} \\
z=-2\frac{x'}{\sqrt{6}}+2
\end{cases}[/tex3]. É simples encontrar [tex3]a=\frac{\sqrt{18}}{2}[/tex3] e [tex3]b=\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex3] calculando os módulos dos vetores que partem da origem da elipse até seus vértices e, pelas escolhas feitas a equação [tex3]\frac{x'^{2}}{a^{2}}+\frac{y'^{2}}{b^{2}}=1[/tex3] é válida.

[edinaely84]

Drako, Bravo!!!