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Olá, alguém pode elucidar esse problema?, grato desde já!

A equação y=x²+mx+(15-m) tangencia o eixo x e corta o eixo y no ponto (o;K), se a coordenada x do vértice é negativa, K vale quanto?

nota, não posso usar as formulas:
x do vértice = -b/2a
y do vértice = -delta/4a
x do vértice = (1° raiz + 2° raiz )/2

é para usar algo como completar quadrados, tipo
y=a(x-x')-y'

a resposta é k=9

Hola.

Se a função tangencia o eixo x, então as raízes são iguais.

Se a curva corta o ponto (0,k), então ele pertence a função dada.

[tex3]y=x^2+mx+(15-m)\ substituindo:\\
k=0^2+m*0 +15-m\\
k=15-m[/tex3]

Quadrando a função e fazendo y=0, temos:
[tex3]0=x^2+mx+(15-m)\\
x^2 + \frac{m}{2}*x + (\frac{m}{2})^2 + (15-m)=(\frac{m}{2})^2\\
x^2 + \frac{m}{2}*x+ (\frac{m}{2})^2 =(\frac{m}{2})^2-(15-m)\\
(x+\frac{m}{2})^2= (\frac{m}{2})^2-(15-m)\\[/tex3]
Fazendo:
[tex3](\frac{m}{2})^2-(15-m)\geq0\\
\frac{m^2}{4}+m-15=0\\
m^2+4m-60=0\ ,\ donde:\\
m'=6\ ou\ m''=-10[/tex3]
Substituindo esse valores na função dada [tex3]y=x^2+mx+(15-m)[/tex3] e fazendo y=0, temos:
Para m = -10, encontamos x = 5
Para m = 6, encontramos x = -3
Como a coordenada x do vértice é negativa, ficamos com x=-3 e m=6, logo:
[tex3]k=15-m\\
k = 15 -6\\
k = 9[/tex3]