IME / ITA ⇒ (AFA - 1995) Geometria - Área Hachurada

[futuromilitar]

Considere uma circunferência inscrita num quadrado de lado a. A área da região hachurada é:

triangulo.png (18.39 KiB) Exibido 3458 vezes

a) [tex3]\frac{a^2}{64}(4-\pi )[/tex3]

b) [tex3]\frac{a^2}{32}(4-\pi )[/tex3]

c) [tex3]\frac{a^2}{16}(4-\pi )[/tex3]

d) [tex3]\frac{a^2}{8}(4-\pi )[/tex3]

[Insight]

Acho que resolvi da maneira mais complicada possível, mas está aí:

1.png (24.12 KiB) Exibido 3455 vezes

A figura pode ser decomposta em um triângulo isósceles de lados [tex3]\frac{a}{2}[/tex3]. Dessa maneira, obtemos uma área igual a [tex3]\frac{a^2}{8}[/tex3].

Queremos agora a área do setor circular dentro do triângulo obtido.

022.jpg (19.4 KiB) Exibido 3455 vezes

Por regra de três obtemos:

[tex3]x=\frac{\pi a^2}{32}[/tex3]

De modo que a área da região hachurada pode ser escrita da seguinte forma:

[tex3]A =\frac{a^2}{8}-\frac{\pi a^2}{32}[/tex3]

[tex3]A =\frac{4a^2 - \pi a^2}{32}[/tex3]

O que equivale a alternativa b.

Penso que seja isto!

[Ittalo25MOD]

çx.png (19.97 KiB) Exibido 3450 vezes

Pela simetria da figura, a área hachurada é simplesmente a metade de: Área de um quadrado de lado [tex3]\frac{a}{2}[/tex3] menos a área de um quarto de círculo com raio [tex3]\frac{a}{2}[/tex3]. Então:

[tex3]\frac{\frac{a^2}{2^2} - \frac{\frac{a^2}{2^2}\cdot \pi}{4}}{2} =[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{a^2}{4} - \frac{a^2\cdot \pi}{16}}{2} =[/tex3]

[tex3]\frac{a^2}{8}-\frac{\pi a^2}{32}[/tex3]

[tex3]\frac{4a^2 - \pi a^2}{32}[/tex3]