Pré-Vestibular ⇒ (UFES) Geometria Plana Tópico resolvido

[Gauss]

Seja ABC um triângulo com o lado AC medindo 1 m. Sejam [tex3]\alpha ,\ \beta \ e\ \theta[/tex3] as medidas dos ângulos internos BAC, ABC e ACB, respectivamente. Seja D o ponto do lado AB tal que CD é a bissetriz interna de ABC relativa ao vértice C. Sabendo que [tex3]2\alpha =\beta =\theta[/tex3], calcule:

A) [tex3]\alpha,\ \beta \ e\ \theta[/tex3];
B) As medidas dos ângulos internos do triângulo BCD;
C) A medida do lado BC;
D) [tex3]cos\ 18^{\circ}[/tex3].

Gostaria de ajuda nas letras C e D.

Resposta

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A) [tex3]\alpha =36^{\circ},\ \beta =\theta =72^{\circ}[/tex3]
B) 36°, 72° e 72°
C) [tex3]BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex3]
D) [tex3]cos\ 18^{\circ}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}[/tex3]

[Ittalo25MOD]

Na C basta usar a lei dos senos:

[tex3]\frac{1}{sen\beta} = \frac{BC}{sen\alpha }[/tex3]

[tex3]BC = \frac{sen\alpha}{sen\beta}[/tex3]

[tex3]BC = \frac{sen\alpha}{sen2\alpha}[/tex3]

[tex3]BC = \frac{1}{2\cdot cos\alpha}[/tex3]

[tex3]BC = \frac{1}{2\cdot cos36^o}[/tex3]

Achando esse cosseno de 36 você resolve a D com a fórmula do arco metade.

Aqui tem as demonstrações do cosseno de 36:

Demonstração por trigonometria:

http://turmaimeitapensi.hooxs.com/t25-c ... o-decagono

Demonstração por números complexos:

viewtopic.php?t=44616