Estude! Com Prof. Caju

Para todos aqueles que almejam uma vaga no IME/ITA o fórum TutorBrasil lança a quinta temporada da maratona de exercícios para fazer seu estudo andar mais rápido!

As regras são simples, mas o não cumprimento acarretará na exclusão da maratona.

1) O usuário que quiser participar deverá RESPONDER a última questão sem resposta e POSTAR uma nova questão na mesma mensagem.
2) A resolução da questão deverá ser feita como se estivesse sendo entregue para a prova discursiva do IME ou do ITA.
3) O uso do LaTeX é obrigatório, caso não saiba usar leia aqui http://www.tutorbrasil.com.br/forum/tutorial_tex.php.
4) Todas questão deverão ser da CN,EFOMM,AFA,EN,IME,ITA de preferência com o ano.
5) Não deve ser postado uma nova questão enquanto a anterior não for resolvida.
6) As questões não respondidas irão ficar por no máximo 36h, após o limite iremos removê-la para o tópico IME/ITA, disponibilizando para que seja postada uma nova.
7) As questões deverão ser numeradas na ordem crescente.
Antes que postar uma nova questão, verifica se ela já não se encontra no fórum. Para pesquisar é fácil, basta colocar um trecho na caixa de buscar e pronto.

Atenção: Todos os problemas que forem dissertativas deverão obrigatoriamente apresentar o gabarito. Utilize a tag spoiler para colocar a resposta.

Veja a I Maratona de Físca IME/ITA caju.tv/maratfis
Veja a II Maratona de Física IME/ITA caju.tv/maratfis2
Veja a III Maratona de Física IME/ITA caju.tv/maratfis3
Veja a IV Maratona de Física IME/ITA caju.tv/maratfis4

**Veja como devemos proceder**

Problema 1
(Questão acompanhado do ano)Escreva a questão
Quem for resolver deverá escrever:

Solução do Problema 1

Descrever a solução

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Problema 2

(Questão acompanhado do ano) Escreva a questão.

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Problema 1

(IME 2016)
Um circuito elétrico tem resistência de [tex3]2 \Omega[/tex3] ligada entre os seus terminais [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3]. Essa resistência é usada para aquecer o Corpo I durante 21 minutos, conforme apresentado na Figura I. Após ser aquecido, o Corpo I é colocado em contato com o Corpo II e a temperatura se estabiliza em [tex3]50[/tex3] ºC, conforme apresentado na Figura 2.

Determine o valor da tensão [tex3]U[/tex3].

Dados:
Massa do Corpo I: [tex3]0,4 kg[/tex3]
Massa do Corpo II: [tex3]1 kg[/tex3]
Calor específico dos Corpos I e II: [tex3]0,075[/tex3] kcal/kgºC
Temperatura inicial do corpo I: [tex3]20[/tex3] ºC
Temperatura inicial do corpo II: [tex3]30[/tex3] ºC

Considerações:
1 cal = 4,2 J
Não há perda de calor no sistema.

Resolução do Problema 1:

Na troca de calor entre os corpos I e II:

[tex3]\Sigma Q =0 \\ \\
m_{1} \cdot c \cdot \Delta \theta_1+m_{2} \cdot c \cdot \Delta \theta_2=0 \\ \rightarrow
0,4 \cdot75 \cdot (50-T)+1 \cdot 75 \cdot (20)=0 \rightarrow \boxed{T=100 C}[/tex3]

O corpo estava inicialmente a [tex3]20 ºC[/tex3] e chegou a [tex3]100 ºC[/tex3] através do resistor de [tex3]2 \Omega[/tex3].

[tex3]P_{ot} \cdot \Delta t = m \cdot c \cdot \Delta \theta \\ \\
P \cdot 21 \cdot 60 =75 \cdot 4,2 \cdot 0,4 \cdot 80 \rightarrow P_{ot}= 8W[/tex3]

Portanto a voltagem no resistor de [tex3]2 \Omega[/tex3] é de [tex3]4V[/tex3] e a corrente de [tex3]2A[/tex3].

O circuito pode ser redesenhado da seguinte forma:
Considerando o potencial [tex3]B[/tex3] como zero o potencial em [tex3]C[/tex3] será de [tex3]30V[/tex3], o potencial em [tex3]D[/tex3] será de [tex3]21V (30-9[/tex3] do receptor). No resistor de [tex3]3 \Omega[/tex3] passará uma corrente de [tex3]7A + 4A[/tex3] que vem do receptor. O potencial em [tex3]E[/tex3] menos em [tex3]D\,(21V)[/tex3] é [tex3]33V[/tex3]. Portando o potencial [tex3]\boxed{V_{E}=U=54V}[/tex3]

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Problema 2:

(AFA 2016) Dois mecanismos que giram com velocidade [tex3]\omega_{1}[/tex3] e [tex3]w_{2}[/tex3] constantes são usados para lançar horizontalmente duas partículas de massas [tex3]m_{1}=1kg[/tex3] e [tex3]m_{2}=2kg[/tex3] de uma altura [tex3]h=30m[/tex3], como mostra a figura 1 abaixo.
Num dado momento em que as partículas passam simultaneamente, tangenciando o plano horizontal [tex3]\alpha[/tex3], elas são desacopladas dos mecanismos de giro e, lançadas horizontalmente, seguem as trajetórias 1 e 2 (figura 1) até se encontrarem no ponto P.
Os gráficos das energias cinéticas, em joule, das partículas 1 e 2 durante os movimentos de queda, até a colisão, são apresentados na figura 2 em função de (h-y), em m, onde y é a altura vertical das partículas num tempo qualquer, medida a partir do solo perfeitamente horizontal.
Desprezando qualquer atrito, a razão [tex3]\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}[/tex3] é:
a)1
b)2
c)3
d)4

Solução do problema 2

Pelo gráfico podemos verificar que [tex3]h-y=20 \rightarrow y=10[/tex3]

Para a partícula 1 fazemos: [tex3]E_{C_{inicial}}= \frac{1 \omega^2 _{1}(2R)^2}{2}=2[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\omega _{1}=\frac{1}{R}[/tex3]

Para a partícula 2 fazemos: [tex3]E_{c_{final}=416J}[/tex3]

[tex3]\frac{2V^2_{F2}}{2}=416[/tex3]

Pela conservação da energia da partícula 2 temos que : [tex3]\Delta E_{m_{2}}= 0[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]m_{2}g(y-h)+\frac{m_{2}V^2_{F2}}{2}-\frac{m_{2}V^2_{0}}{2}=0[/tex3]

[tex3]2*10*(-20)+\frac{2*416}{2}-\frac{2*(\omega _{2}R)}{2}=0 \rightarrow[/tex3] [tex3]\omega _{2}R= 4 \rightarrow[/tex3] [tex3]\omega _{2}=\frac{4}{R}[/tex3]

Daí, tiramos a razão [tex3]\omega _{2}/\omega _{1}[/tex3]:

[tex3]\frac{\omega _{2}}{\omega _{1}}=\frac{\frac{4}{R}}{\frac{1}{R}}[/tex3]= [tex3]\frac{\omega _{2}}{\omega _{1}}=4[/tex3]

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Problema 3
(AFA 2014) A figura abaixo mostra um sistema em equilíbrio estático, formado por uma barra homogênea e uma mola ideal que estão ligadas através de uma de suas extremidades e livremente articuladas às paredes.
A barra possui massa [tex3]m[/tex3] e comprimento [tex3]L_{0}[/tex3], a mola possui comprimento natural [tex3]L_0[/tex3] e a distância entre as articulações é de [tex3]2L_{0}[/tex3]. Esse sistema (barra-mola) está sujeito à ação da gravidade cujo módulo da aceleração é [tex3]g[/tex3] e, nessas condições, a constante elástica da mola vale

a) [tex3]\frac{m \cdot g \cdot L_{0}^{-1}}{4(\sqrt{3-1)}}[/tex3]
b) [tex3]m \cdot g \cdot L_{0}^{-1}[/tex3]
c) [tex3]2 \cdot m \cdot g \cdot L_{0}^{-1}[/tex3]
d) [tex3]\frac{m \cdot g}{\sqrt6-2}[/tex3]

Solução do Problema 3:

[tex3]L= L_{0}\sqrt3 \rightarrow x=L-L_{0} \\ \\
x=(L_{0}\sqrt3-1) \\ \\
m \cdot g \cdot \sin 30 \cdot \frac{L_{0}}{2} = k \cdot x \cdot L_{0} \\ \\
\boxed{k = \frac{m \cdot g \cdot L_{0}^{-1}}{4(\sqrt{3-1)}}}[/tex3]

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Problema 4:

(ITA) Um mol de gás ideial sofre uma expansão adiabática reversível de um estado inicial cuja pressão é [tex3]P_{i}[/tex3] e o volume é [tex3]V_{i}[/tex3] para um estado final em que a pressão é [tex3]P_{f}[/tex3] e o volume é [tex3]V_{f}[/tex3]. Sabe-se que [tex3]\gamma= C_{p}/C_{v}[/tex3] é o exponte de Poisson, em que [tex3]C_{p}[/tex3] e [tex3]C_{v}[/tex3] são os respectivos calores molares a pressão e a volume constantes. Obtenha a expressão do trabalaho realizado pelo gás em função de [tex3]P_{i}, V_{i}, P_{f}, V_{f}[/tex3] e [tex3]\gamma[/tex3].

Solução do problema 4:

(Espero que se possa utilizar integral e derivada na resolução desses exercícios aqui no Forum)

Se o trabalho é adiabático, [tex3]dQ=0[/tex3], e pela primeira lei da termodinâmica: [tex3]dU=dQ-W[/tex3], mas [tex3]W=PdV[/tex3], então [tex3]dU=-PdV[/tex3].
Tomando a equação de clapeyron e diferenciando ambos os lados:
[tex3]PV=nRT \rightarrow dPV+PdV=nRdT \rightarrow dT=\frac{VdP+PdV}{nR}[/tex3]
Mas sabemos que [tex3]dU=nC_vdT[/tex3], então substituindo tudo: [tex3]-PdV=nC_v\frac{VdP+PdV}{nR}[/tex3]
Trabalhando a expressão sem fazer nada além de manipular os fatores, obtemos [tex3]C_vVdP=-P(C_v+R)dV[/tex3]
Mas é bem conhecido que [tex3]C_p=C_v+R[/tex3], então:
[tex3]dPC_vV=-dVC_pP \rightarrow \frac{dP}{P}=-\frac{C_p}{C_v}\frac{dV}{V}[/tex3]
[tex3]\therefore \frac{dP}{P}=-\gamma \frac{dV}{V}[/tex3]
Integrando ambos os lados:
[tex3]ln \left ( \frac{P_f}{P_i} \right )=-\gamma \ln \left ( \frac{V_f}{V_i} \right )[/tex3]
[tex3]ln \left ( \frac{P_f}{P_i} \right )=\ln \left ( \frac{V_i^{\gamma}}{V_f^{\gamma}} \right )[/tex3]
Logo [tex3]P_fV_f^{\gamma}=P_iV_i^{\gamma}=k[/tex3] (k constante)
Não sei se tudo isso que fiz é necessário para a demonstração ou pode-se partir desse fato para terminar a resolução.
Como sabemos, [tex3]W=\int PdV[/tex3], mas da relação anterior, [tex3]PV^{\gamma}=k \rightarrow P=kV^{-\gamma}[/tex3]. Substituindo:
[tex3]W=\int kV^{-\gamma}dV=\frac{k(V_f^{1-\gamma}-V_i^{1-\gamma})}{1-\gamma}[/tex3]
Como [tex3]k=P_fV_f^{\gamma}=P_iV_i^{\gamma}[/tex3], podemos distribuir arbitrariamente:
[tex3]\frac{P_fV_f^{\gamma}V_f^{1-\gamma}-P_iV_i^{\gamma}V_i^{1-\gamma}}{1-\gamma}=[/tex3]
[tex3]\frac{P_fV_f-P_iV_i}{1-\gamma}[/tex3]

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Problema 5:

(ITA 2006) Uma estação espacial em forma de um toróide, de raio interno R1, e externo R2, gira, com período P, em torno do seu eixo central, numa região de gravidade nula. O astronauta sente que seu "peso" aumenta de 20%, quando corre com velocidade constante [tex3]v[/tex3] no interior desta estação, ao longo de sua maior circunferência, conforme mostra a figura. Assinale a expressão que indica o módulo dessa velocidade. a) [tex3]v=\frac{\left(\sqrt{\frac{6}{5}}-1\right)(2\pi R_2)}{P}[/tex3]
b) [tex3]v=\frac{\left(1-\sqrt{\frac{5}{6}}\right)(2\pi R_2)}{P}[/tex3]
c) [tex3]v=\frac{\left(\sqrt{\frac{5}{6}}+1\right)(2\pi R_2)}{P}[/tex3]
d) [tex3]v=\frac{\left(\frac{5}{6}+1\right)(2\pi R_2)}{P}[/tex3]
e) [tex3]v=\frac{\left(\frac{6}{5}-1\right)(2\pi R_2)}{P}[/tex3]

Pode derivar sim, mas não para a resolução de problemas do ITA não é necessário, tem sempre uma saída usando o conteúdo de Ensino Médio (eu mesmo não sei derivar ainda).

Solução Alternativa para o Problema 4:

Solução do Problema 5:

Considerando que [tex3]v=\frac{2\pi}{T}[/tex3] e [tex3]F_{cp}=\frac{mv^2}{R}[/tex3]

A resultante centrípeta é dada pela força normal nos dois casos.

Situação I:

[tex3]N= \frac{m \cdot v_{1}^2}{R_{2}}= \frac{m \cdot \left(\frac{2\pi \cdot R_{2}}{P}\right)^2}{R_{2}} \\ \\

N_{2} = \frac{6}{5}N= \frac{m \cdot v_{2}^2}{R_{2}}= \frac{m \cdot \left(\frac{2\pi \cdot R_{2}}{P}+v\right)^2}{R_{2}}[/tex3]

Dividindo uma pela outra:

[tex3]\boxed{v=\frac{\left(\sqrt{\frac{6}{5}}-1\right)(2\pi R_2)}{P}}[/tex3]

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Problema 6:

(ITA 2008) Numa brincadeira de aventura, o garoto (de massa [tex3]M[/tex3]) lança-se por uma corda amarrada num galho de árvore num ponto de altura [tex3]L[/tex3] acima do gatinho (de massa [tex3]m[/tex3]) da figura, que pretende resgatar. Sendo [tex3]g[/tex3] a aceleração da gravidade e [tex3]H[/tex3] a altura da plataforma de onde se lança, indique o valor da tensão na corda, imediatamente após o garoto apanhar o gato para aterrisá-lo na outra margem do lago.
a) [tex3]Mg\left(1+\frac{2H}{L}\right)[/tex3]
b) [tex3](M+m)g\left[1-\left(\frac{M+m}{M}\right)^2\frac{2H}{L}\right][/tex3]
c) [tex3]Mg\left(1-\frac{2H}{L}\right)[/tex3]
d) [tex3](M+m)g\left[1+\left(\frac{M+m}{M}\right)^2\frac{2H}{L}\right][/tex3]
e) [tex3](M+m)g\left[\left(\frac{M+m}{M}\right)^2 \frac{2H}{L}-1\right][/tex3]

Resolução do problema 6

Olá jovens, procederemos da seguinte maneira :

-1° Passo-

Calcularemos a velocidade o garoto imediatamente após a colisão:

* Antes de entrar em movimento o garoto é dotado de uma energia potencial gravitacional e de energia mecânica. Como não entrou em movimento, temos que , esta se encontra conservada.
* Já em movimento, o garoto será dotado de uma energia mecânica final que será a sua energia cinética.

Representando tudo o que foi dito temos:

[tex3]E_{mi}=E_{mf}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3]

[tex3]E_{pg}= m\cdot g\cdot H[/tex3] e [tex3]E_{c}=\frac{m\cdot v^2}{2}[/tex3] Ai, vem:

[tex3]m\cdot g\cdot H=\frac{m\cdot v^2}{2}\,\,\therefore\,\,v=\sqrt{2gH}[/tex3]

-2° passo-
Agora, calculamos a velocidade do garoto imediatamente após a colisão inelástica, onde os corpos adquirem a mesma velocidade. Aí, vem:

[tex3]M\sqrt{2gH}+0=(m+M)v\,\,\therefore\,\,v=\frac{M\sqrt{2gH}}{M+m}[/tex3]

A partir daí, podemos encontrar a tração na corda a partir da resultante centrípeta:

[tex3]R_{cp}=(m+M)\cdot a_{cp}\,\,\Rightarrow\,\,T-P= (m+M)\cdot \frac{v^2}{L}\,\,\therefore\,\,T-(m+M)g=\frac{(m+M)}{L}\cdot \left(\frac{M\sqrt{2gH}}{M+m}\right)^2[/tex3] [tex3]\therefore[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{T=(M+m)g\left[1+\left(\frac{M}{m+M}\right)^2\frac{2H}{L}\right]}}[/tex3]

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Problema 7

(ITA-2008)

Considere um condutor esférico A de 20 cm de diâmetro colocado sobre um pedestal fixo e isolante. Uma esfera condutora B de 0,5 mm de diâmetro, do mesmo material da esfera A, é suspensa por um fio fixo e isolante. Em posição oposta à esfera A é colocada uma campainha C ligada à terra, conforme mostra a figura. O condutor A é então carregado a um potencial eletrostático [tex3]V_{o}[/tex3], de forma a atrair a esfera B. As duas esferas entram em contato devido à indução eletrostática e, após a transferência de carga, a esfera B é repelida, chocando-se com a campainha C, onde a carga adquirida é escoada para a terra. Após 20 contatos com a campainha, verifica-se que o potencial da esfera A é de 10000 V. Determine o potencial inicial da esfera A.

Considere [tex3](1+x)^{n}[/tex3]= [tex3]1+nx[/tex3] se IxI [tex3]<1[/tex3]

Solução do Problema 7:

[tex3]V_{0}=K \frac{Q}{R}[/tex3]

Primeiro contato:

[tex3]Q=Q_{1}+q_{1} \\
Q= \frac{R}{K} \cdot v_{1}+\frac{r}{K} \cdot v_{1} \rightarrow V_{1}= \boxed{\frac{KQ}{R+r}}[/tex3]

Após n contatos:

[tex3]V_{n}=\frac{V_{0}}{\left(1+n\frac{r}{R}\right)} \\ \\ \\

\boxed{V_{0}=10500 V}[/tex3]

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Problema 8:

(IME 2008) Considere uma pequena bola de gelo de massa [tex3]M[/tex3] suspensa por um fio de densidade linear de massa [tex3]\rho[/tex3] e comprimento L à temperatura ambiente. Logo abaixo desde fio, já um copo de altura [tex3]H[/tex3] e diâmetro [tex3]D[/tex3] boiando na água. Inicialmente o copo está em equilíbrio com o comprimento [tex3]C[/tex3] submerso. Este fio é mantido vibrando em sua frequência natural à medida que a bola de gelo derrete e a água cai no copo. Determine a frequência de vibração do fio quando o empuxo for máximo, ou seja, quando o copo perder a sua flutuabilidade.

Dados:
aceleração da gravidade: [tex3]g[/tex3]
massa específica da água: [tex3]\mu[/tex3]

Resolução do Problema 8:

Empuxo: [tex3]E= \mu \cdot V_{s} \cdot g[/tex3] (Vs = volume submerso)
Equação de Taylor: [tex3]v=\sqrt{\frac{T}{\rho}}[/tex3] ([tex3]T[/tex3]= força tensora, [tex3]\rho[/tex3] = densidade da corda)
Equação fundamental da ondulatória: [tex3]v= \lambda \cdot f[/tex3]

No momento em que o corpo "perde a sua flutuabilidade":

[tex3]E_{max}=P_{H_{2}O}+P_{copo} \\ \\
g \cdot \mu \cdot \pi \frac{D^2}{4} \cdot H = \mu \cdot \frac{D^2}{4} \cdot C \cdot g + P_{H_{2}O} \\ \\
P_{H_{2}O} = \mu \cdot g \cdot \frac{D^2}{4} (H-C) \\ \\ \\
m_{H_{2}O}= \boxed{\mu \cdot \pi \cdot \frac{D^2}{4}(H-C)}[/tex3]

Como o fio vibra na frequência fundamental [tex3]\frac{\lambda}{2}=L \rightarrow \lambda = 2L[/tex3]

Sobrou uma massa "[tex3](M-m)[/tex3]" de gelo que não derreteu e continua fazendo o fio vibrar.

[tex3]v=\sqrt{\frac{P_{gelo}}{\rho}} \rightarrow v= \lambda \cdot f_{0}[/tex3]

Fazendo as substituições de valores chegamos em:


[tex3]\rightarrow \boxed{\boxed{f_{0}=\frac{1}{4L}\sqrt{\frac{[4m-\mu \cdot \pi \cdot d^2(H-C)]\cdot g}{\rho}}}}[/tex3]

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Problema 9:

(IME 1997) Afinando um instrumento de cordas, um músico verificou que uma das cordas estava sujeita a uma força de tração de [tex3]80N[/tex3] e que ao ser dedilhada, vibrava com uma frequência [tex3]20Hz[/tex3] abaixo da ideal. Sabendo-se que a parte vibrante da corda tem [tex3]100[/tex3] cm de comprimento, [tex3]0,5g[/tex3] de massa e que deve ser afinada no primeiro harmônico, determine a força de tração necessária para afinar a corda.

Solução do Problema 9:


No caso de cordas, a frequência fundamental é aquela que satisfaz:

[tex3]L=\frac{\lambda}{2}-->\lambda=2L<\lambda=2 m[/tex3]

A velocidade de uma onda na corda é dada pela equação:

[tex3]V=\sqrt{\frac{T}{u}}\\\lambda.f=\sqrt{\frac{T}{u}}\\f=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{80}{u}}\\u.L=m\\u=0,5.10^{-3}\\f=\frac{1}{2}.400=200Hz[/tex3]

No entanto, o enunciado diz que essa frequência é 20 Hz abaixo do ideal, então a frequência ideal é: f=220Hz


[tex3]220=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{T}{0,5.10^{-3}}}\\T=440^2.0,5.10^{-3}\\T=96,8N[/tex3]


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Problema 10:

(IME-2013)Uma partícula de carga [tex3]+Q[/tex3] e massa [tex3]m[/tex3] move-se pelo espaço presa a um carrinho. Esse movimento é regido pelas seguintes equações de posição nos três eixos, para [tex3]k[/tex3], [tex3]\omega_1[/tex3] e [tex3]\omega_2[/tex3]
constantes:

[tex3]x(t)=\frac{k}{w_1}\cdot\sin(w_1\cdot t)-\frac{k}{w_2}\cdot\sin(w_2t)\\\\y(t)=\frac{k}{w_1}\cdot\cos(w_1\cdot t)+\frac{k}{w_2}\cdot\cos(w_2\cdot t)\\\\z(t)=\frac{4k}{w_1+w_2}\cdot\sin\left(\frac{w_1+w_2}{2}t\right)[/tex3]


Durante todo o movimento, um campo elétrico atua na partícula, o que provoca uma força que
tende a arrancá-la do carrinho.

Dado:
• Coordenadas nos três eixos do campo elétrico: [tex3](0,\,0,\,E)[/tex3].

Portanto:
a) mostre que a partícula se move com velocidade escalar constante;
b) determine os instantes em que a força provocada pelo campo elétrico na partícula é
ortogonal à sua trajetória;
c) determine as equações dos vetores aceleração tangencial e aceleração normal decompostos
nos três eixos;
d) supondo que em [tex3]t=\frac{2\pi}{w_1+w_2}[/tex3]
a partícula se solte do carrinho, determine as acelerações
normal e tangencial da partícula imediatamente após x .