Pré-Vestibular ⇒ Solução alternativa-Problema 10 (V Maratona de Matemática)

[emanuel9393MOD]

Segue uma solução alternativa para esse problema:

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Pela semelhança entre [tex3]\Delta DEC[/tex3] e [tex3]\Delta CHE[/tex3], vemos:

[tex3]\dfrac{HC}{\dfrac{\sqrt S}{2}}= \dfrac{\sqrt S}{\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt S}{2}\right)^2 + \left(\sqrt S\right)^2}} \Rightarrow HC = \dfrac{\sqrt S}{\sqrt 5}[/tex3]

Da semelhança entre [tex3]\Delta AIF[/tex3] e [tex3]\Delta ADF[/tex3], temos:

[tex3]\dfrac{FI}{\dfrac{\sqrt S}{\sqrt 5}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt S}{2}}{\sqrt S} \Rightarrow FI = \dfrac{\sqrt S}{2 \sqrt 5}[/tex3]

Precisamos também determinar o valor de IG. Para isso, observamos que se [tex3]A\hat DF = \alpha[/tex3], temos que [tex3]D \hat FC = 2 \alpha[/tex3] (verifique). Logo, calculando a tangente desse ângulo:

[tex3]\tan (D\hat FC) = \tan (2\alpha) = \dfrac{2\tan \alpha}{ 1 - \tan^2 \alpha } = \dfrac{2 \left(\dfrac{1}{2}\right)}{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \dfrac{4}{3}[/tex3]

Logo,

[tex3]IG = FI \tan (2 \alpha ) = \dfrac{\sqrt S}{2 \sqrt 5} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{2\sqrt S}{3 \sqrt{5}}[/tex3]

Com o valor de todas essas medidas, podemos calcular o que se pede:

[tex3]S_{DHGI} = S_{ABCD} - S_{DCH}-S_{CFB}-S_{DAF}-S_{FIG} = S - \dfrac{S}{5}-\dfrac{S}{2}-\dfrac{S}{30} \\ \Rightarrow \boxed{\boxed{S_{DHGI}= \dfrac{4S}{15}}}[/tex3]

Essa solução é mais trabalhosa do que a apresentada na maratona, mas postei aqui como um caminho alternativo.
Uma boa noite à todos!