Pré-Vestibular ⇒ (UEM - 2015) Números Complexos

[Cientista]

Qual seria o valor do somatório [tex3]\sum_{k=3}^{17}i^{k}[/tex3]?

[tex3]A. 0[/tex3];

B. 1

[tex3]C.[/tex3] [tex3]2[/tex3]

[tex3]D.[/tex3] [tex3]3[/tex3]

[tex3]E[/tex3]. Impossível


É possível fazer sem que se faça o desenvolvimento todo do somatório? tipo i³+...i^17 ? porque imaginemos que viesse, k=50, seria puxado

[Gauss]

Olá, Cientista!

[tex3](i^3, i^4, ...,\ i^{17})\\\\q=\frac{i^4}{i^3}\rightarrow q=i\\\\S=a_1\left(\frac{q^n-1}{q-1}\right)\\\\n=15\rightarrow S=i^3\left(\frac{i^{15}-1}{i-1}\right)\\\\S=-i\left(\frac{-i-1}{i-1}\right)\\\\S=\frac{i^2+i}{i-1}\rightarrow S=\frac{i-1}{i-1}\rightarrow \boxed {S=1}[/tex3]

Obs: Não conheço nada sobre somatório. Caso eu tenha errado, perdoe-me.

[Cientista]

Muito bom !

Mas tenho uma dúvida, você para achar o número de termos contou de 3,4,... até 17 ou tu usou outra forma? pergunto isso para os casos, mais complexos como se fosse até i³...+i^100, como descubriria o número de termos sem contar?

[emanuel9393MOD]

Olá, Cientista!

Para contar quantos números existem de [tex3]a[/tex3] até [tex3]b[/tex3] incluindo o [tex3]a[/tex3], basta calcular [tex3](b-a) +1[/tex3]. Foi isso que ele fez([tex3]17-3+1=15[/tex3]). No caso de [tex3]i^3+\cdots + i^{100}[/tex3], resultaria [tex3](100-3)+1=98[/tex3]. Serão 98 termos.
Eu gostei muito da solução de Gauss. Fiz de uma outra forma e vou colocar aqui como uma solução alternativa:

Solução 2
Observe que:

[tex3]i^3 = -i \\ i^4=1 \\ i^5=i \\ i^6=-1[/tex3]

A partir daí, essa sequencia de termos volta a se repetir. A soma dos ternos listados acima é nula. Isso quer dizer que, a cada soma de 4 termos, resulta zero. Podemos concluir então, que:

[tex3]\sum_{k=3}^{14}i^k = 0[/tex3]

Logo:

[tex3]\sum_{k=3}^{17}i^k = \sum_{k=3}^{14}i^k + i^{15}+i^{16}+i^{17} = 0 + -i+1+i \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \sum_{k=3}^{17}i^k = 1[/tex3]

Grande abraço!

[Gauss]

Então, cara, para achar a quantidade de termos, eu utilizei aquela relação: [tex3]a_n=a_1.q^{n-1}[/tex3]. Da seguinte forma:

[tex3]a_n=a_1.q^{n-1}\\\\i^{17}=i^3.(i)^{n-1}\\\\\cancel{i}^{14}=(\cancel{i})^{n-1}\\\\n=15[/tex3]