Ensino Superior ⇒ Quádricas/ Geometria Analitica Tópico resolvido

[Sampaio66]

Estou com muita dúvida nesse exercício...


Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E³ que são equidistantes das retas r:X=(0,-1/2,0)+λ(1,0,0) e s:X=(0,1/2,0)+λ(0,0,1) e identifique-o


Obrigado desde já!

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Considerando o ponto P( x , y , z ) qualquer do IR³ , vamos encontrar o vetor [tex3]\vec{AP}[/tex3] , onde A ( 0 , - 1/2 , 0 ) ponto de r, então

[tex3]\vec{AP}[/tex3] = P - A = ( x , y , z ) - ( 0 , - 1/2 , 0 ) = ( x , y + (1/2) , z )

Temos ainda que, um vetor diretor de r é [tex3]\vec{v}_r[/tex3] = ( 1 , 0 , 0 ) .

Agora vamos encontrar [tex3]\vec{AP} \wedge \vec{v} _r[/tex3] , vem;

[tex3]\vec{AP} \wedge \vec{v} _r =
\left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
x & y + \frac{1}{2} & z \\
1 & 0 & 0
\end{array} \right|[/tex3]

Desenvolvendo, obtemos:

[tex3]\vec{AP} \wedge \vec{v} _r = ( 0 , z , - y - \frac{1}{2} )[/tex3]


Agora , chame de B( 0 , 1/2 , 0 ) um ponto da reta s, então

[tex3]\vec{BP}[/tex3] = P - A = ( x , y , z ) - ( 0 , 1/2 , 0 ) = ( x , y - (1/2) , z ).

Um vetor diretor de s é [tex3]\vec{v}_s[/tex3] = ( 0 , 0 , 1 ) .

Agora vamos encontrar [tex3]\vec{BP} \wedge \vec{v} _s[/tex3] , vem;

[tex3]\vec{BP} \wedge \vec{v} _s =
\left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
x & y - \frac{1}{2} & z \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right|[/tex3]

Desenvolvendo, obtemos:

[tex3]\vec{BP} \wedge \vec{v} _s = ( y - \frac{1}{2} , - x , 0 )[/tex3]

Assim,

d( P , r ) = d( P , s )

[tex3]\frac{|| \vec{AP} \wedge \vec{v}_r ||}{ || \vec{v}_r||} = \frac{|| \vec{BP} \wedge \vec{v}_s ||}{ || \vec{v}_s ||} [/tex3]

[tex3]\frac{|| ( 0 , z , - y - \frac{1}{2} ) ||}{ || ( 1 , 0 , 0 ) ||} = \frac{|| ( y - \frac{1}{2} , - x , 0 )||}{ || ( 0 , 0 , 1 ) ||} [/tex3]

[tex3]\frac{ \sqrt{ 0^2 + z^2 + (y + \frac{1}{2})^2 } }{ \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{ \sqrt{ ( y - \frac{1}{2} )^2 + ( - x )^2 + 0^2 } }{ \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2 }} [/tex3]

Desenvolvendo, obtemos

z² + y² + y + ( 1/4 ) = y² - y + ( 1/4 ) + x²

z² - x² = - 2y

x² - z² = 2y

Basta agora comparar com as equações gerais das quádricas. Nesse sentido, pode-se inferir que essa equação representa um paraboloide hiperbólico que pode ser descrito pela seguinte equação geral :

( x²/a² ) - ( z²/c² ) = by

Portanto , o lugar geométrico é um paraboloide hiperbólico.

Mais um usuário que teve a sua única pergunta resolvida


Excelente estudo!