Pré-Vestibular ⇒ (Unicamp-1992) Progressão Aritmética

[gabemreis]

Sejam [tex3]a_1,a_2,.....,a_n[/tex3] e [tex3]b_1,b_2,.....,b_n[/tex3] duas progressão aritméticas. Mostre que os pontos [tex3](a_j,b_j),\, j=1,2,...[/tex3], estão sobre uma mesma reta.

Gostaria de saber se minha explicação está correta.

[tex3]\rightarrow[/tex3] Seja a primeira progressão [tex3]a_1, a_2+r,....,a_n+(n-1)r[/tex3] e a segunda progressão [tex3]b_1, b_2+s,....,b_n+(n-1)s[/tex3]. Para que elas estejam sobre a mesma reta, o coeficiente angular deve ser o mesmo, logo:

[tex3]m=\frac{b_j-b_{j-1}}{a_j-a_{j-1}}=\frac{b_j-(b_j-s)}{a_j-(a_j-r)}=\frac{s}{r}[/tex3]

Para [tex3](a_n,b_n)[/tex3] e [tex3](a_1,b_1)[/tex3]:

[tex3]m=\frac{b_1+(n-1)s-b_1}{a_1+(n-1)r-a_1}=\frac{(n-1)s}{(n-1)r}=\frac{s}{r}[/tex3]

Assim, prova-se que os pontos estão sobre a mesma reta.

[LucasPinafiMOD]

Nem sempre retas com mesmos coeficientes angulares estão sob uma mesma reta.