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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta [tex3]y = x,[/tex3] da região do plano limitada pelas retas [tex3]y = x,[/tex3] [tex3]y =\frac{1}{3}\,\cdot\,x[/tex3] e [tex3]y = - 3x + 10.[/tex3]
Multiplique o resultado por [tex3]\frac{3\sqrt{2}}{\pi}.[/tex3]

O sólido é composto por dois cones de mesma base e alturas diferentes cujo volume é [tex3]V=\frac{A_b.h_1}{3}+\frac{A_b.h_2}{3}\,\rightarrow\,\boxed{V=\frac{A_b}{3}(h_1+h_2)}[/tex3]

o ponto [tex3]A[/tex3]:

[tex3]\{y=x\\y=-3x+10[/tex3]

[tex3]A(2,5\,\,,\,\,2,5)\\\boxed{h_1+h_2=2,5\sqrt{2}}[/tex3]

o ponto [tex3]B[/tex3]:

[tex3]\{y=\frac{x}{3}\\y=-3x+10[/tex3]

[tex3]B(3\,\,,1)[/tex3]

o ponto [tex3]C[/tex3]:

encontramos a perpendicular a [tex3]y=x[/tex3] que passa por [tex3]B[/tex3]

[tex3]y=-x+c\\1=-3+c\rightarrow{}c=4\\y=-x+4[/tex3]

[tex3]\{y=-x+4\\y=x\\C(1\,\,,1)[/tex3]

[tex3]\bar{CB}=\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]A_b=\pi{}r^2\,\rightarrow\,A_b=2\pi[/tex3]

finalmente [tex3]V=\frac{2\pi}{3}\cdot2,5\sqrt{2}\,\rightarrow\,\boxed{V=\frac{5\pi\sqrt{2}}{3}}[/tex3]