Ensino Médio ⇒ Raízes de uma equação com grau quatro Tópico resolvido

[karenfreitas]

Resolva a equação:
[tex3]6z^4-25z^3+32z^2+3z-10=0[/tex3]

Agradeço a ajuda prestada para como proceder com essa questão.

[ruanchaves]

[tex3]6z^4-25z^3+32z^2+3z-10=0[/tex3]

De acordo com o teorema das raízes racionais, esta equação possui uma raíz p/q tal que -10, o termo independente, é divisível por p e 6, o valor que acompanha a mais elevada potência de x, é divisível por q.

Valores possíveis de p: os divisores de 10
p = -10, +10, -5, +5, -2, +2, -1, +1

Valores possíveis de q: os divisores de 6
q = -6, +6, -3, +3, -2, +2, -1, +1

Agora perceba o seguinte: em

[tex3]6z^4-25z^3+32z^2+3z-10=0[/tex3]

O valor [tex3]6z^4 + 32z^2 + 3z[/tex3] deve se anular com [tex3]-25z^3 - 10[/tex3].

Pense em quanto [tex3]6z^4[/tex3] é maior do que [tex3]25z^3 + 10[/tex3] para um valor de z maior do que 1.
Isso significa que, provavelmente, e com os valores possíveis de p e q que nós achamos, p/q é menor do que 1.
Por isso, vamos testar os valores menores do que 1 primeiro:

p/q = 1/2 ou -1/2, 1/5 ou -1/5, 1/10 ou -1/10, 2/3 ou -2/3, 3/5 ou -3/5

[tex3]6(1/2)^4-25(1/2)^3+32(1/2)^2+3(1/2)-10=0 \rightarrow \frac{-13}{4} = 0[/tex3]

É um absurdo! Logo, a raíz racional p/q não pode ser igual a 1/2.
Vamos testar -1/2.

[tex3]6(-1/2)^4-25(-1/2)^3+32(-1/2)^2+3(-1/2)-10=0 \rightarrow 0 = 0[/tex3]

Achamos uma raíz! Existe uma raíz racional de [tex3]6z^4-25z^3+32z^2+3z-10=0[/tex3] tal que [tex3]z_{1}=-\frac{1}{2}[/tex3]

Vamos ver se tem mais... Testa aí para 2/3.

[tex3]6(2/3)^4-25(2/3)^3+32(2/3)^2+3(2/3)-10 \rightarrow 0 = 0[/tex3]

Opa, 2/3 também é raíz.

Agora basta aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini, dividindo [tex3]p(z) = 6z^4-25z^3+32z^2+3z-10[/tex3] por ( z + 1/2 ).

Se você aplicar o dispositivo direitinho, vai chegar em [tex3]p(z) = 6z^4-25z^3+32z^2+3z-10 = ( z + \frac{1}{2} )(z^3 - 28z^2 + 46z - 20) = 0[/tex3].

Vamos nos concentrar em:
[tex3]z^3 - 28z^2 + 46z - 20 = 0 \rightarrow z^3 + 46z = 20 + 28z^2[/tex3]

E aplicar tudo de novo...

Valores possíveis de p: os divisores de 20
-20, +20, -10, +10, -5, +5, -2, +2

Valores possíveis de q: os divisores de 1
-1, +1

Se você olhar bem onde p/q vai dar, dá pra ver que nem um nem outro vão satisfazer a equação. Os valores máximos estão divididos por 1 ( 20 e -20 ) e não satisfazem. Isso significa que não existem mais raízes reais, as próximas terão parte real e parte imaginária.

O que a gente vai fazer agora então é dividir [tex3]p(x) = 6z^4-25z^3+32z^2+3z-10[/tex3] por ( z - 2/3 )( z + 1/2), já que 2/3 e -1/2 também são raízes de p(x).

Se você fizer a divisão polinomial ( divisão de polinômio por polinômio ), vai chegar nisso:

[tex3]p(x) = 6z^4-25z^3+32z^2+3z-10 = ( z - \frac{2}{3} )( z + \frac{1}{2})(z^2 - 4z + 5 )[/tex3]

Resolvendo [tex3]z^2 - 4z + 5 = 0[/tex3], ( basta resolver normalmente considerando que i = raíz de -1 ), vai encontrar 2 - i e 2 + i como raízes.

Ou seja, [tex3]6z^4-25z^3+32z^2+3z-10 = 0[/tex3] tem conjunto solução com as raízes -1/2, 2/3, 2 + i e, de acordo com o teorema fundamental da álgebra, o seu conjugado, 2 - i.